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(二)直线与圆锥曲线(2)1(2018洛阳模拟)已知抛物线C:yx2,点A,B在抛物线上,且横坐标分别为,抛物线C上的点P在A,B之间(不包括点A,点B),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP的斜率k的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)由题意可知A,B,设P(xP,x),xP,所以k xP(1,1),故直线AP的斜率k的取值范围是(1,1)(2)直线AP:ykxk,直线BQ:xkyk0,联立可知,点Q的横坐标为xQ,|PQ|(xQxP),|PA|(1k),所以|PA|PQ|(1k)3(1k),令f(x)(1x)3(1x),1x1,则f(x)(1x)2(24x)2(1x)2(2x1),当1x0,当x1时,f(x)b0)的焦距为2c,离心率为,圆O:x2y2c2,A1,A2是椭圆的左、右顶点,AB是圆O的任意一条直径,A1AB面积的最大值为2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)若l为圆O的任意一条切线,l与椭圆C交于两点P,Q,求|PQ|的取值范围解(1)设B点到x轴距离为h,则2|A1O|hah,易知当线段AB在y轴时,hmax|BO|c,ac2,e,a2c,a2,c1,b,椭圆C的方程为1,圆O的方程为x2y21.(2)当直线l的斜率不存在时,求得|PQ|3;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm,直线为圆的切线,d1,m2k21,联立得(4k23)x28kmx4m2120,判别式48(3k22)0,由根与系数的关系得弦长|PQ|x1x2|,令t4k233,则|PQ|.综上,|PQ|.3(2018江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,短轴为MN,点P(4,0)满足15.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,过点P的动直线l与椭圆交于点A,B,是否存在常数,使得为定值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解(1)(4,b)(4,b)16b215,所以b1,又,所以a24,从而椭圆C的方程为y21.(2)当l不为x轴时,设l:xmy4,A(x1,y1),B(x2,y2)联立l与C的方程可得(m24)y28my120,所以y1y2,y1y2,x1x2y1y2(x14)(x24)y1y2(1)(1m2)y1y24m(y1y2)1616.因为为定值,所以,解得,此时定值为.当l为x轴时,A(2,0),B(2,0)412.综上,存在,使得为定值.4(2018宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在x轴上,离心率e,以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在直线l0:xx0(x02),使得A,B到直线l0的距离dA,dB满足恒成立,若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0),ca,又44,a2b25,由b2a2c2a2,解得a2,b1,c.椭圆C的标准方程为y21.(2)若直线l的斜率不存在,则直线l0为任意的xx0(x02)都满足要求;当直线l的斜率存在时,设其方程为yk(x1),设A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨令x11x2),则dAx0x1,dBx0x2,|PA|(x11),|PB|(1x2), ,解得x0.由得(14k2)x28k2x4k240,x1x2,x1x2,x04.综上可知,存在直线l0:x4,使得A,B到直线l0的距离dA,dB满足恒成立5(2018四省大联考)如图,在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),过直线l:x2左侧的动点P作PHl于点H,HPF的角平分线交x轴于点M,且|PH|MF|,记动点P的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点F作直线m交曲线于A,B两点,点C在l上,且BCx轴,试问:直线AC是否恒过定点?请说明理由解(1)设P(x,y),由题意可知|MF|PF|,所以,即,化简整理得y21,即曲线的方程为y21.(2)由已知可得直线m的斜率不为0,可设直线m的方程为xny1,联立消去x,得(n22)y22ny10,0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(2,y2),则y1y2,y1y2,x1ny11,直线AC的斜率为k,直线AC的方程为yy2(x2),即y,又,直线AC的方程为y,直线AC过定点N.6
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