2 1圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥面 当平面经过圆锥面的顶点时 可得到两条相交直线 当平面与圆锥面的轴垂直时 截线 平面与圆锥面的交线 是一个圆 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时 观察截线的变化情况 并思考 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线 这些曲线具有哪些几何特征 椭圆 双曲线 抛物线 椭圆的定义 平面内到两定点F1 F2的距离之和为常数 大于F1F2距离 的点的轨迹叫椭圆 两个定点叫椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球 使它们都与截面相切 切点分别为F1 F2 又分别与圆锥面的侧面相切 两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2 过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1 圆O2与P Q两点 因为过球外一点作球的切线长相等 所以MF1 MP MF2 MQ MF1 MF2 MP MQ PQ 定值 F1 双曲线的定义 平面内到两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于距离 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点F1 F2叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 平面内与一个定点F和一条定直线l F不在l上 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 抛物线定义 椭圆的定义 可以用数学表达式来体现 设平面内的动点为M 有 2a 的常数 思考 在椭圆的定义中 如果这个常数小于或等于 动点M的轨迹又如何呢 平面内到两定点F1 F2的距离和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 双曲线的定义 平面内到两定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点F1 F2叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 可以用数学表达式来体现 设平面内的动点为M 有 0 2a 的常数 思考 在双曲线的定义中 如果这个常数大于或等于 动点M的轨迹又如何呢 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l F不在l上 的距离相等的点轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 设平面内的动点为M 有MF d d为动点M到直线l的距离 可以用数学表达式来体现 说明 1 椭圆 双曲线 抛物线统称为圆锥曲线 2 我们可利用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么 证 1 根据条件有AB AC 2BC 即AB AC 12 即动点A到定点B C的距离之和为定值12 且12 6 BC 所以点A在以B C为焦点的一个椭圆上运动 的焦点坐标分别 3 0 3 0 例2动圆M过定圆C外的一点A 且与圆C外切 问 动圆圆心M的轨迹是什么图形 A M C 变题 若动圆M过点A且与圆C相切呢 例3已知定点F和定直线l F不在直线l上 动圆M过F点且与直线l相切 求证 圆心M的轨迹是一条抛物线 分析 欲证明轨迹为抛物线只需抓住抛物线的定义即可 1 平面内到两定点F1 4 0 F2 4 0 的距离和等于10的点的轨迹是 A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 线段 2 平面内到两定点F1 1 0 F2 1 0 的距离的差的绝对值等于2的点的轨迹是 A 椭圆B 双曲线C 线段D 两条射线 课堂练习 4 平面内到点F 0 1 的距离与直线y 1的距离相等的点的轨迹是 3 平面内的点F是定直线l上的一个定点 则到点F和直线l的距离相等的点的轨迹是 A 一个点B 一条线段C 一条射线D 一条直线 课堂练习 1 已知 ABC中 BC长为6 周长为16 那么顶点A在怎样的曲线上运动 课后练习 1 三种圆锥曲线的形成过程 2 椭圆的定义 3 双曲线的定义 4 抛物线的定义 课堂小结