3二元函数的连续性 一 二元函数的连续性 二 有界闭区域上二元连续函数的性质 定义2 一二元函数的连续性概念 设z f X f x y 在区域D上有定义 则称f X 在X0连续 X0称为f X 的连续点 否则称f X 在X0间断 X0称为f X 的间断点 X x y D X0 x0 y0 D 1 二元函数连续的概念 若f X 在D上每一点都连续 则称f X 在D上连续 记为f X C D 易知 例2中f x y 在 0 0 间断 极限不存在 每一点都间断 注 1 二元函数f X 在X0连续必须满足三个条件 在X0有定义 在X0的极限存在 两者相等 2 多元连续函数的和 差 积 商 分母不为0 以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数 定义可推广到三元以上函数中去 多元初等函数 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 在定义区域内的连续点求极限可用 代入法 2 连续函数性质 2 两个连续函数的和 差 积 商 若分母不为 都是连续函数 例1求极限 解 是多元初等函数 定义域 于是 不连通 例2 解 解 取 故函数在 0 0 处连续 当时 例4讨论函数 在 0 0 的连续性 解 取 其值随k的不同而变化 极限不存在 故函数在 0 0 处不连续 3 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的 所谓多元初等函数是指以x y z 为自变量的基本初等函数f x y g z 以及常函数 经有限次四则运算和复合所构成的函数 如f x exy sin x2 y e0 sin0 0 4 二元连续函数的几何意义 定义在区域D上的二元连续函数z f X f x y 表示了在D上的一片没有 空洞 没有 裂缝 的连续曲面 这里条件 D是一区域 是必要的 若D不是区域 z f X 可能不是通常意义下的连续曲面 例 设D x y x y均为有理数 R2 z f x y 是定义在D上的 在D上恒等于1 在别的点上无定义的函数 即 f x y 1 当 x y D时 无定义 当 x y D时 如图 可知 x0 y0 D 但曲面z f x y 不是通常意义下的连续曲面 二有界闭区域上二元连续函数的性质 性质1 性质2 思考 若在某一区域内对变量为连续 对变量满足李普希兹条件 即对任何有其中为常数 则此函数在内连续 证明 因为对变量连续 所以 使得当时 取 当时 小结 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 注意趋近方式的任意性 多元函数的定义