定积分的概念 通过求曲边梯形的面积 了解定积分的背景 能用定积分的定义求简单的定积分 了解定积分的几何意义 学习目标 问题一 下列图形的面积如何求 问题二 下列图形的面积又该如何求 曲边梯形 问题引入 曲边梯形 y f x a b 0 x y 怎样求面积呢 设函数y f x 在区间 a b 上非负 连续 由直线x a x b y 0及曲线y f x 所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 问题引入 不足估计值 过剩估计值 情景分析 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 情景分析 以直代曲 分割 求和 无限逼近 情景分析 将区间 a b 分成n份 分点为 如图 给定一个在区间 a b 上的函数y f x 情景分析 克西 捷塔 当n无穷大时 过剩估计值与不足估计值就接近我们要求的曲边梯形的面积 其面积是一个固定的常数A 我们称A是函数y f x 在区间 a b 上的定积分 记作 A 概念形成 当n无穷大时 过剩估计值与不足估计值就接近我们要求的曲边梯形的面积 其面积是一个固定的常数A 我们称A是函数y f x 在区间 a b 上的定积分 记作 A 概念形成 积分上限 积分下限 积分变量 积分号 2 定积分的值与积分变量用什么字母表示无关 即有 3 规定 概念形成 1 的大小只与被积函数f x 及积分区间 a b 有关 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b a b y f x 0 y f x 0 x x y y 0 0 A A 1 概念形成 2 如果f x 在 a b 上时正 时负 如下图 a b x y y f x 0 概念形成 例 说明下列定积分所表示的意义 并根据其意义求出定积分的值 y 2 x 1 x 1 2 简单应用 例 说明下列定积分所表示的意义 并根据其意义求出定积分的值 作出被积函数的图像 过积分区间的端点做x轴的垂线 与x轴围成封闭图形 计算图形面积 步骤 简单应用 1 求曲边梯形的思路 2 定积分的概念 其大小与被积函数y f x 和积分区间 a b 有关 3 定积分的几何意义 S 归纳小结