第3章离散时间信号的傅里叶变换及DFT 要求 1 掌握连续时间傅里叶变换FT2 掌握离散时间傅里叶变换DTFT及性质3 掌握离散傅里叶变换DFT及应用 3 1连续时间信号的傅里叶 设x t 为一连续信号 若x t 属于L1空间 即满足 那么 x t 的傅里叶变换存在 并定义为 反变换为 X j 是 的连续函数 称为x t 的频谱密度函数或频谱 时域连续的非周期信号其傅里叶变换 FT在频域上是连续的 非周期的 1 非周期时间信号傅里叶变换 欧拉公式 3 1连续时间信号的傅里叶 任何周期信号在满足狄义赫利条件下 可以展开为完备正交函数线性组合的无穷级数 如果正交函数集是三角函数集 则此时展成的级数称为傅里叶级数三角形式 如果正交函数集是复指数函数集 则称为傅里叶级数复指数形式 3 1连续时间信号的傅里叶 信号与系统 徐守时 176页 设x t 为一连续时间周期信号 周期为T 即x t x t nT 该信号不属于L1空间 但如果x t 满足狄义赫利条件 可以将其展开为傅里叶级数 即 k 0为第k次谐波频率 因为X k 0 仅在 0的整数倍取值 即在频率轴取值是离散的 称为x t 在k次谐波的傅里叶系数 X k 0 表示为 那么 周期信号x t 的傅里叶变换为 3 1连续时间信号的傅里叶 2 周期时间信号傅里叶变换 函数定义及性质 函数傅里叶变换性质 3 1连续时间信号的傅里叶 补充 3 1连续时间信号的傅里叶 补充 求x t 1的FT 因为 3 1连续时间信号的傅里叶 补充 求周期函数cos 0t 和sin 0t 的傅里叶变换 3 1连续时间信号的傅里叶 补充 该式表明 一个周期信号的傅里叶变换是 由在频率轴上间距为 0的冲击序列所组成 线谱 不具备傅里叶变换条件的周期信号 在引入冲激信号后可以作傅里叶变换 时域连续周期信号傅里叶变换在频率上是离散的 非周期的 3 1连续时间信号的傅里叶 由上述 函数傅里叶变换性质 周期信号的傅里叶变换 FS为 计算周期信号的傅里叶变换 3 1连续时间信号的傅里叶 信号与系统 徐守时 199页 3 1连续时间信号的傅里叶 1 周期矩形信号频谱是离散的 谱线间隔是 0 2 T 2 当 2 k 时 谱线的包络线过零点 3 2 1DTFT的定义 对序列傅里叶变换两边乘以ej m并在 内对 积分 此式即为离散时间序列的傅里叶变换 DTFT X ej 是 的连续函数 且是周期的 周期为2 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 设x n 为一序列 该序列傅里叶变换为 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 DTFT的反变换为 信号与系统 徐守时 187页 N 50 3n 0 1 N w 3 pi pi 1000 4 pi a 0 8 xn a n X 1 1 a exp j w Xmax max abs X subplot 311 stem n xn grid ylabel x n xlabel n subplot 312 plot w pi abs X ylabel X j xlabel grid text 0 1 5 leftarrow X j num2str Xmax fontsize 10 subplot 313 plot w pi angle X ylabel xlabel grid 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 常用DTFT的变换 信号与系统 徐守时 196页 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 信号与系统 徐守时 188页 4 matlab 应用Web和MATLAB的信号与系统基础 246Matlab信号处理与应用 懂长虹 68 1 线性 令x1 n x2 n 的DTFT分别为X1 ej 和X2 ej 并令x n ax1 n bx2 n 则X ej aX1 ej bX2 ej 3 2 2DTFT的性质 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 2 时移 这说明 如果序列在时域的平移 将不导致傅里叶变换的模改变 只造成其相位附加一个线性相移 n0 求x n n n0 的傅里叶变换 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 序列的时延n0 导致其傅里叶变换乘以一个时移因子 从频域的模和相位来看 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 3 频移 如果x n 在时域被 1 n加权 即原序列交替改变符号 等效于在频域频移 在低频部分经频移到最高频率 时间序列在时域被频率为 0的复正弦加权 等于频域中分别将其傅里叶变换沿频率轴右移 0 按频移性质有 设X ej 2 0 是以2 为周期的单位冲激函数 计算IDTFT X ej 频移性质的频谱搬移技术在通信和信号处理中得到广泛应用 如载波幅度调制 同步解调 变频或混频等技术 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 由于离散时间信号的傅里叶变换是以2 为周期的 因此 频域冲击应该是周期的 即 求周期函数cos 0n 和sin 0n 的傅里叶变换 利用欧拉公式 分别有 信号与系统 徐守时 245页 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 4 奇 偶 虚 实对称性 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 如果x n 是实信号 即xI n 0 则X ej 的实部XR ej 可表示为 结论1 实信号x n 傅里叶变换X ej 的实部XR ej 是 的偶函数 结论2 实信号x n 傅里叶变换X ej 的虚部XI ej 是 的奇函数 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 实信号x n 傅里叶变换的虚部XI ej 可表示为 结论3 X ej 的幅频响应是 的偶函数 结论4 相频响应是 的奇函数 求实信号x n 0 8n的DTFT n 0 20 k 200 200 4 1w pi 100 k x 0 8 n X x exp j pi 100 n k subplot 411 stem n x grid title x n subplot 323 plot w pi real X grid title real subplot 324 plot w pi imag X grid title imag subplot 325 plot w pi abs X grid title DTFT x n subplot 326 plot w pi angle X grid title arctan x n 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 数字信号处理使用MATLAB 维纳 K 恩格尔 40 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 对于实信号 由结论1 2得 对于复信号有 5 时域卷积定理 信号与系统 徐守时 255页 时域两个序列卷积 对应着在频域中 它们的傅里叶变换相乘 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 6 频域卷积定理 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 时域两个序列相乘 对应着在频域中 它们的傅里叶变换卷积再乘以1 2 7 尺度变换 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 x n 在时域上扩展m倍 导致其频域压缩m倍 X ej 周期变为2 m 在x n 之间插零 加快了信号的变化速度 改变了信号的频域分布 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 5 时域使得x n 在时域上压缩m倍 导致其频域扩展m倍 频域扩展产生了混频 甚至与原来频域分布不一样 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 8 时域相关定理 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 如果y n 是x n 和h n 的相关函数 即 能量信号x n 的自相关函数的傅里叶变换等于信号傅里叶变换的幅值平方 X ej 2称为信号的能量密度谱或能谱密度 能量谱 两个能量信号互相关函数的傅里叶变换 等于其中一个信号的傅里叶变换乘以另一个傅里叶变换的共轭 通常把能量互相关的傅里叶变换称为互谱密度 9 巴塞伐定理 帕什瓦尔定理 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 一个能量信号在时域的总能量 等于其频域的总能量 能量谱由信号傅里叶变换的模确定 与相位无关 具有相同幅度的谱而相位不同的信号 都具有相同的能量谱 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 10 维纳 辛钦定理 称Px ej 为功率信号x n 的功率密度谱或功率谱密度 功率谱 功率信号x n 的自相关函数和其功率谱是一对傅里叶变换 若x n 是功率信号 其自相关函数的傅里叶变换为 3 2 3DTFT的应用 取一复序列x n 0 8 nejn 3 0 n 8求它的DTFT并探讨其对称性与周期性 按上式计算 a 0 8 ej 3 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 k 200 200 w pi 100 k 6a 0 8 exp j pi 3 n 0 0 1 10 x a n subplot 221 stem n real x grid title 实部 subplot 222 stem n imag x grid title 虚部 X 1 1 a exp j w subplot 223 plot w pi abs X grid title 幅度 subplot 224 plot w pi angle X grid title 相角 如果频率向量表示为 1 2 k k d 则DTFT可表示为 X ej x exp j dw n k 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 DTFT计算表达式常用表达方法 数字信号处理教程 MATLAB释义与实现 陈怀琛 54 n 0 10 7x 0 8 exp j pi 3 n k 200 200 w pi 100 k X x exp j n w 0 8 nejn 3傅里叶变换x1 0 8 n X1 x1 exp j n w 0 8 n傅里叶变换subplot 421 stem real x grid title 复序列 ylabel 实部 subplot 423 stem imag x grid ylabel 虚部 subplot 425 plot w pi abs X grid ylabel 幅度 subplot 427 plot w pi angle X grid ylabel 相角 subplot 422 stem real x1 grid title 实序列 subplot 424 stem imag x1 grid subplot 426 plot w pi abs X1 grid subplot 428 plot w pi angle X1 grid 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 按公式 X ej x exp j dw n k 编程为 讨论 1 复序列的DTFT的幅频特性和相频特性是 的周期函数 但不是对称的 既不是偶对称 也不是奇对称 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 2 去掉复数因子ej 3后x n 就为实序列 实序列的幅频特性和相频特性是 的周期函数 幅值偶对称 相位奇对称 3 把复序列变为实序列 相当于让时间序列乘以e j 3后 它引起DTFT特性频移 求有限长序列x n 1 3 5 3 1 的DTFT 画出在 8 8rad s范围内的频率特性 讨论其对称性 再把序列左右移动 讨论对DTFT的影响 x 1 3 5 3 1 nx 1 3 8w linspace 8 8 1000 将 8 8分成1000份X x exp j nx w subplot 3 1 1 stem nx x axis 2 6 1 6 grid title 原序列 ylabel x n subplot 3 2 3 plot w pi abs X grid ylabel 幅度 subplot 3 2 4 plot w pi angle X grid ylabel 相角 subplot 3 2 5 plot w pi real X grid ylabel 实部 subplot 3 2 6 plot w pi imag X grid ylabel 虚部 3 2离散时间信号的的傅里叶变换 数字信号处理教程 MATLAB释义与实现 陈怀琛 55 x 1 3 5 3 1 nx 1 3 9w linspace 8 8 1000 X x exp j nx w subplot 5 3 1 stem nx x axis 2 6 1 6 g