考点一直线的倾斜角 斜率和方程1 直线的倾斜角 1 定义 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为0 2 直线的倾斜角 的取值范围为 0 180 2 直线的斜率 1 定义 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 斜率常用小写字母k表示 即k tan 倾斜角是90 的直线斜率不存在 2 过两点的直线的斜率公式经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 其中x1 x2 的直线的斜率公式为k 知识清单 3 直线方程的五种形式 考点二点与直线 直线与直线的位置关系1 两条直线平行对于两条不重合的直线l1 l2 其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 特别地 当直线l1 l2的斜率都不存在时 l1与l2的关系为平行 2 两条直线垂直如果两条直线l1 l2的斜率存在 分别设为k1 k2 则l1 l2 k1 k2 1 3 判断两条直线是否相交两条直线是否有交点 就要看这两条直线方程所组成的方程组 是否有唯一解 4 两点间的距离平面上的两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 间的距离公式 P1P2 特别地 原点O 0 0 与任一点P x y 的距离 OP 5 点到直线的距离点P0 x0 y0 到直线l Ax By C 0的距离d 6 两条平行线间的距离两条平行线Ax By C1 0与Ax By C2 0 C1 C2 间的距离d 1 斜率k是一个实数 每条直线都存在唯一的倾斜角 但并不是每条直线都存在斜率 倾斜角为90 的直线斜率不存在 2 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时 要根据正切函数k tan 的单调性 当 且 由0增大到时 k由0增大趋近于 当 时 k也是关于 的单调函数 当 在此区间内由增大到 时 k由 趋近于0 k 0 当然解决此类问题时 也可采用数形结合思想 借助图形直观地作出判断 求直线的斜率及倾斜角的范围的方法 方法技巧 例1 2017江西赣州期末 7 已知点 1 2 和在直线l ax y 1 0 a 0 的两侧 则直线l的倾斜角的取值范围是 D A B C D 解题导引 解析设直线l的倾斜角为 且 0 点A 1 2 B 直线l ax y 1 0 a 0 经过定点P 0 1 kPA 1 kPB 点 1 2 和在直线l ax y 1 0 a 0 的两侧 kPA a kPB 1 tan tan 0 解得0 故选D 两个相互独立的条件确定一条直线 因此 求直线方程时 首先 分析是否具备两个相互独立的条件 其次 恰当地选用直线方程的形式 准确地写出直线方程 要注意若不能断定直线斜率是否存在 应加以讨论 求直线方程的一般方法 1 直接法 根据已知条件 选择恰当形式的直线方程 直接求出方程中的系数 写出直线方程 2 待定系数法 先设出直线方程 再根据已知条件求出待定系数 最后代入求出直线方程 另外 从所求的结论来看 若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长 则应选用截距式 确定直线方程的方法 例2过点M 0 1 作直线 使它被两直线l1 x 3y 10 0 l2 2x y 8 0所截得的线段恰好被M平分 求此直线方程 解题导引 解析解法一 过点M且与x轴垂直的直线是y轴 它和两已知直线的交点分别是和 0 8 显然不满足中点是点M 0 1 的条件 故可设所求直线方程为y kx 1 它与两已知直线l1 l2分别交于A B两点 由 解得xA 由 解得xB 点M平分线段AB xA xB 2xM 即 0 解得k 故所求直线方程为y x 1 即x 4y 4 0 解法二 设所求直线与已知直线l1 l2分别交于A B两点 点B在直线l2 2x y 8 0上 设B t 8 2t 又M 0 1 是线段AB的中点 由中点坐标公式得A t 2t 6 点A在直线l1 x 3y 10 0上 t 3 2t 6 10 0 解得t 4 B 4 0 A 4 2 故所求直线方程为 即x 4y 4 0 评析 1 解答时围绕题设中两个独立条件建立关系 一是 直线过点M 0 1 二是 截得的线段恰好被M平分 2 解法二是对条件作巧妙的转化 即交点A B的坐标分别适合l1 l2的方程 并且M平分线段AB 可设B点坐标 依条件建立关系式求解 3 对直线问题 要特别注意斜率不存在的情况 4 求直线方程常用方法 待定系数法 待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程 然后按照它们满足的条件求出参数 1 一般地 若直线l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则 k1 k2 l1与l2相交 k1 k2且b1 b2 l1与l2平行 k1 k2且b1 b2 l1与l2重合 k1 k2 1 l1与l2垂直 注意 斜率存在是利用斜率判断两直线平行 相交 垂直的先决条件 若两直线的斜率不存在 则两直线平行或重合 若两直线中只有一条斜率存在 则两直线相交 特别地 若斜率存在且为0 则两直线垂直 2 一般地 若l1 A1x B1y C1 0 A1 B1不全为0 l2 A2x B2y C2 0 A2 B2不全为0 则 两直线平行与垂直问题的解决策略 l1与l2相交 A1B2 A2B1 0 l1与l2平行 或 l1与l2重合 A1B2 A2B1 B1C2 B2C1 A1C2 A2C1 0 l1与l2垂直 A1A2 B1B2 0 注意 当A2B2C2 0时 一般用 来判断相交 用 来判断平行 用 来判断重合 当然 这些比例关系不是判断两直线相交 平行 重合的充要条件 例3 2017湖南东部十校联考 14 经过两条直线2x 3y 1 0和x 3y 4 0的交点 并且垂直于直线3x 4y 7 0的直线方程为 解题导引 解析解法一 由方程组解得即交点为 所求直线与直线3x 4y 7 0垂直 所求直线的斜率为k 由点斜式得所求直线方程为y 即4x 3y 9 0 解法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x 3y m 0 由方程组可解得交点为 代入4x 3y m 0得m 9 故所求直线方程为4x 3y 9 0 解法三 由题意可设所求直线的方程为 2x 3y 1 x 3y 4 0 即 2 x 3 3 y 1 4 0 又因为所求直线与直线3x 4y 7 0垂直 所以3 2 4 3 3 0 所以 2 代入 式得所求直线方程为4x 3y 9 0 答案4x 3y 9 0 1 用点到直线的距离公式时 直线方程必须化为一般式 还要注意公式中的分子含有绝对值符号 分母含有根号 2 求两平行线间的距离时 可转化为其中一条直线上的点到另一条直线的距离 也可以代入公式求解 但此时必须先将两直线方程转化为一般形式且x y的系数分别对应相等 3 点到几种特殊直线的距离 可直接求出 点P x0 y0 到x轴的距离d y0 点P x0 y0 到y轴的距离d x0 点P x0 y0 到与x轴平行的直线y a的距离d y0 a 点P x0 y0 到与y轴平行的直线x b的距离d x0 b 求距离的方法 例4 2017豫北重点中学4月联考 14 已知直线l在两坐标轴上的截距相等 且点A 1 3 到直线l的距离为 则直线l的方程为 解析当直线过原点时 设直线方程为y kx 由点A 1 3 到直线l的距离为 得 解得k 7或k 1 此时直线l的方程为y 7x或y x 当直线不过原点时 设直线方程为x y a 由点A 1 3 到直线l的距离为 得 解得a 2或a 6 此时直线l的方程为x y 2 0或x y 6 0 综上所述 直线l的方程为y 7x或y x或x y 2 0或x y 6 0 答案y 7x或y x或x y 2 0或x y 6 0 1 中心对称 1 点关于点的对称若点M x1 y1 及N x y 关于P a b 对称 则由中点坐标公式得 2 直线关于点的对称直线关于点的对称 其主要方法是 在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 或者求出一个对称点 再利用l1 l2 由点斜式得到所求直线的方程 2 轴对称 1 点关于直线的对称 关于对称问题的求解策略 若两点P1 x1 y1 与P2 x2 y2 关于直线l Ax By C 0对称 则线段P1P2的中点在对称轴l上 而且P1P2所在的直线垂直于对称轴l 由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标 x2 y2 其中A 0 x1 x2 2 直线关于直线的对称若已知直线l1与对称轴l相交 则交点必在与l1对称的直线l2上 再求出l1上除交点外任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2 那么经过交点及点P2的直线就是l2 若已知直线l1与对称轴l平行 则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等 由平行直线系和两条平行线间的距离 即可求出l1的对称直线 例5 2017山西四校联考 13 若将一张坐标纸折叠一次 使得点 0 2 与点 4 0 重合 点 7 3 与点 m n 重合 则m n 解析由题可知纸的折痕垂直平分点 0 2 与点 4 0 的连线 可得折痕所在直线为y 2x 3 又折痕也垂直平分点 7 3 与点 m n 的连线 于是解得 m n 答案