第 1 页 共 13 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 若复数 z 满足 i 为虚数单位 则 z 等于 A 1B 2C D 2 已知命题 p 方程 ax2 by2 1 表示双曲线 命题 q b 0 a 命题 p 是命题 q 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3 已知命题 p 存在 x0 0 命题 q 对任意 x R x2 x 1 0 下列命题为 真命题的是 A qB p 且 qC p 或 q D p 且 q 4 已知平面 内有一点 M 1 1 2 平面 的一个法向量 2 1 2 则下 列点 P 在平面 内的是 A 4 4 0 B 2 0 1 C 2 3 3 D 3 3 4 5 4 种不同产品排成一排参加展览 要求甲 乙两种产品之间至少有 1 种其它产品 则不同排列方法的种数是 A 12B 10C 8D 6 6 直线 y 4x 与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A 4B 4C 2D 2 7 函数的图象大致为 A B C D 8 已知 f x 6ax b 的两个极值点分别为 x1 x2 x1 x2 且 x2 则 函数 f x1 f x2 A 1B C 1D 与 b 有关 9 已知动圆 C 经过点 A 2 0 且截 y 轴所得的弦长为 4 则圆心 C 的轨迹是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 10 用数学归纳法证明不等式 n 1 n N 的过程中 从 n k 到 n k 1 时左边需增加的代数式是 A B C D 第 2 页 共 13 页 11 如图所示 将若干个点摆成三角形图案 每条边 包括两个端点 有 n n 1 n N 个点 相应的图案中总的点数记为 an 则等于 A B C D 12 已知双曲线 的一个焦点与抛物线 y2 8x 的焦点 F 重合 抛物 线的准线与双曲线交于 A B 两点 且 OAB 的面积为 6 O 为原点 则双曲线 的方程为 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知函数 f x x3 2x2 则曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 14 某次考试结束 甲 乙 丙三位同学聚在一起聊天 甲说 你们的成绩都没有我 高 乙说 我的成绩一定比丙高 丙说 你们的成绩都比我高 成绩公 布后 三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对 若将三人成绩从高到低排序 则甲排在第 名 15 设 F 是双曲线 C 1 的一个焦点 若 C 上存在点 P 使线段 PF 的中点恰为其 虚轴的一个端点 则 C 的离心率为 16 已知函数 f x 及其导数 f x 若存在 x0 使得 f x0 f x0 则 x0称为 f x 的一个 巧值点 则下列函数中有 巧值点 的是 f x x2 f x e x f x lnx f x tanx f x 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 1 设 a b 0 用综合法证明 a3 b3 a2b ab2 2 用分析法证明 18 如图 1 在边长为 4 的正方形 ABCD 中 点 E F 分别是 AB BC 的中点 点 M 在 AD 上 且 AM AD 将 AED DCF 分别沿 DE DF 折叠使 A C 点重合于点 P 如图 2 所示 第 3 页 共 13 页 1 试判断 PB 与平面 MEF 的位置关系 并给出证明 2 求二面角 M EF D 的余弦值 19 已知函数 f x x3 x2 1 求函数 f x 的单调区间 2 求函数 f x 在区间 1 2 上的最大值和最小值 20 已知物线 C y2 2px p 0 过点 M 4 4 1 求抛物线 C 的方程 2 设 F 为抛物线 C 的焦点 直线 l y 2x 8 与抛物线 C 交于 A B 两点 求 FAB 的面积 21 已知椭圆 C 过点 两个焦点 1 求椭圆 C 的标准方程 2 设直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 且 AB 6 求 AOB 面积的最大值 22 已知函数 f x x3 ax 1 讨论 f x 的单调性 第 4 页 共 13 页 2 若函数 g x f x xlnx 在上有零点 求 a 的取值范围 第 5 页 共 13 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 z 1 故选 A 利用复数的运算法则 模的计算公式即可得出 本题考查了复数的运算法则 模的计算公式 属于基础题 2 答案 B 解析 分析 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 利用好双曲线方程系数的 关系是解决本题的关键 比较基础 命题 p 等价为 ab 0 在和命题 q 对比即可得出结 论 解答 解 方程 ax2 by2 1 表示双曲线等价于 ab 0 即命题 p ab 0 由 ab 0 推不出 b 0 a 由 b 0 a 能推出 ab 0 故命题 p 是命题 q 的必要不充分条件 故选 B 3 答案 D 解析 解 因为当 x 0 时 函数 y 1 故命题 p 为假命题 当 x R 时 函数 y 故命题 q 为真命题 因此选项 D 正确 故选 D 首先 分别判断给定的两个命题的真假 然后 结合复合命题的真假进行进一步的判断 本题考查了复合命题的真假判断 关键是对指数函数和二次函数的理解 属基础题 4 答案 C 解析 解 若点 P 在平面 内 则 0 设 P x y z 则 2 x 1 y 1 2 z 2 0 经过验证只有点 2 3 3 满足 故选 C 若点 P 在平面 内 则 0 经过验证即可判断出结论 本题考查了向量垂直与数量积的关系 法向量的应用 线面垂直的判定 考查了推理能 力与计算能力 属于中档题 第 6 页 共 13 页 5 答案 A 解析 解 4 种不同产品排成一排所有的排法共有 A44 24 种 其中甲 乙两种产品相邻的排法有 A22A33 12 种 故甲 乙两种产品之间至少有 1 种其它产品 则不同排列方法的种数是排法有 24 12 12 种 故选 A 先求出所有的排法 再排除甲乙相邻的排法 即得甲 乙两种产品之间至少有 1 种其它 产品 则不同排列方法的种数 本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用 相邻的问题用捆绑法 属于中档题 6 答案 B 解析 解 先根据题意画出图形 两个图形在第一象限的交点为 2 8 所以曲线 y x3与直线 y 4x 在第一象限所围成的图形的面积是 02 4x x3 dx 而 02 4x x3 dx 2x2 x4 02 8 4 4 曲封闭图形的面积是 4 故选 B 由题意首先求出第一象限的交点 然后利用定积分表示围成的图形的面积 然后计算即 可 本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积 会求出原函数的能力 同时考查了数形结 合的思想 属于基础题 7 答案 A 解析 分析 本题主要考查函数图象的识别和判断 利用排除法是解决本题的关键 根据函数是否存在零点 以及 f 1 的符号 利用排除法进行判断即可 解答 解 f 1 0 排除 C D B 一个 x 值对应两个 y 值 不是函数 排除 B 故选 A 8 答案 B 解析 解 f x x2 5ax 6a 故 x1 x2 5a x1x2 6a 而 x2 联立解得 a 1 x1 2 x2 3 故 f x x2 6x b 故 f x1 f x2 8 4 12 b 27 9 18 b 故选 B 求出函数的导数 求出 a 1 x1 2 x2 3 从而求出 f x1 f x2 的值即可 本题考查了函数的单调性 极值问题 考查导数的应用以及转化思想 是一道常规题 第 7 页 共 13 页 9 答案 D 解析 解 设圆心 C x y 弦为 BCD 过点 C 作 CE y 轴 垂足为 E 则 BE 2 CA 2 BC 2 BE 2 CE 2 x 2 2 y2 22 x2 化为 y2 4x y2 4x 为抛物 线 故选 D 设圆心 C x y 弦为 BD 过点 C 作 CE y 轴 垂足为 E 则 BE 2 又 CA 2 BC 2 BE 2 CE 2 利用两点间的距离公式 即可得出 本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质 垂径定理 两点间的距离公式 考查学生 的计算能力 属于中档题 10 答案 B 解析 解 当 n k 时 左边的代数式为 当 n k 1 时 左边的代数式为 故用 n k 1 时左边的代数式减去 n k 时左边的代数式的结果为 故选 B 求出当 n k 时 左边的代数式 当 n k 1 时 左边的代数式 相减可得结果 本题考查用数学归纳法证明不等式 注意式子的结构特征 以及从 n k 到 n k 1 项的变 化 11 答案 C 解析 解 由题意及图 可知 a2 3 a3 3 3 1 6 a4 3 4 1 9 a5 3 5 1 12 an 3 n 1 3 n 1 1 1 故选 C 本题要先根据图象找规律 列出前几项即可发现规律 然后写出一般项 an 在计算求和 第 8 页 共 13 页 式时先对一般项进行化简再进行裂项相消法就会更简单 本题主要考查对图形点的归律个观察 归纳出一般项 以及运用裂项相消法进行求和 本题属中档题 12 答案 D 解析 解 抛物线 y2 8x 的焦点 F 为 2 0 可得双曲线的焦点分别为 2 0 2 0 抛物线的准线为 x 2 由 OAB 的面积为 6 可得 2 AB 6 即 AB 6 可设 A 2 3 可得 A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为 3 2 即 2a 2 可得 a 1 由 b 可得双曲线的方程为 x2 1 故选 D 求得抛物线的焦点和准线方程 可得双曲线的 c 由三角形的面积公式可得 A 的坐标 由双曲线的定义可得 a 进而得到 b 可得双曲线的方程 本题考查双曲线的定义 方程和性质 考查方程思想和运算能力 属于基础题 13 答案 x y 0 解析 分析 本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式 考查计算能力 属于基础题 分别求出 f 1 及 f x 3x2 4x 即可求得 f 1 利用点斜式即可得到所求切 线方程 问题得解 解答 解 由题可得 f 1 1 点 1 f 1 化为 1 1 又 f x 3x2 4x 所以 f 1 1 所以所求切线斜率为 1 则曲线 y f x 在点 1 1 处的切线方程为 x y 0 故答案为 x y 0 14 答案 2 解析 分析 本题主要考查合情推理的应用 利用三人中恰有一人说得不对 分别进行讨论是解决本 题的关键 分别讨论三人中一人说的不对 另外 2 人正确 然后进行验证是否满足条件即可 解答 解 若甲说的不对 乙 丙说的正确 则甲不是最高的 乙的成绩比丙高 则乙最高 丙若正确 则丙最低 满足条件 此时三人成绩从高到底为乙 甲 丙 若乙说的不对 甲 丙说的正确 则甲最高 乙最小 丙第二 此时丙错误 不满足条 件 若丙说的不对 甲 乙说的正确 则甲最高 乙第二 丙最低 此时丙也正确 不满足 第 9 页 共 13 页 条件 故三人成绩从高到底为乙 甲 丙 则甲排第 2 位 故答案为 2 15 答案 解析 解 设 F c 0 P m n m 0 设 PF 的中点为 M 0 b 即有 m c n 2b 将点 c 2b 代入双曲线方程可得 1 可得 e2 5 解得 e 故答案为 设 F c 0 P m n m 0 设 PF 的中点为 M 0 b 即有 m c n 2b 将中点 M 的坐标代入双曲线方程 结合离心率公式 计算即可得到 本题考查双曲线的方程和性质 主要考查双曲线的离心率的求法 同时考查中点坐标公 式的运用 属于中档题 16 答案 解析 解 中的函数 f x x2 f x 2x 要使 f x f x 则 x2 2x 解得 x 0 或 2 可见函数有巧值点 对于 中的函数 要使 f x f x 则 e x e x 由对任意的 x 有 e x 0 可知方 程无解 原函数没有巧值点 对于 中的函数 要使 f x f x 则 lnx 由函数 f x lnx 与 y 的图象知