高三考试数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（ ）A.的实部大于的实部B.的实部等于的实部C.的虚部大于的虚部D.的虚部小于的虚部2.已知集合，则（ ）A.B.C.D.3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A.B.C.D.4.若函数，则（ ）A.的最大值为1B.C.的最小正周期为2D.5.设非零向量，满足，则（ ）A.B.C.2D.6.设双曲线，的离心率分别为，则（ ）A.B.C.D.7.将60个个体按照01，02，03，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54则抽取的第11个个体的编号是（ ）A.38B.13C.42D.028.若，则的最小值为（ ）A.2B.C.4D.9.若，则（ ）A.B.C.D.10.已知函数的图象关于点对称，当时，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.11如图，在正四棱柱中，,分别为，的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）A.直线与直线异面，且B.直线与直线共面，且C.直线与直线异面，且D.直线与直线共面，且12.已知直线与抛物线：交于，两点，直线与抛物线：交于，两点，设，则（ ）A.B.C.D.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.，分别为内角， ，的对边.已知，则_.14.四面体的每个顶点都在球的球面上， ，两两垂直，且，则四面体的体积为_，球的表面积为_ .（本题第一空2分，第二空3分）15.小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为_.16.函数的最小值为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.如图，四棱锥的底面是正方形，为的中点，.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的侧面积.18. 某公司产品生产的投入成本（单位：万元）与产品销售收入（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到关于的线性回归方程为.（万元）6781112141721（十万元）1.21.51.722.22.42.62.9（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：元）.（2）该公司产品生产的投入成本（单位：万元）与产品销售收入 （单位：十万元）也存在较好的线性关系，且关于的线性回归方程为.（）估计该公司产品投入成本30万元后的毛利率(毛利率=)；（）判断该公司，两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大.19. 设为数列的前项和，且.（1）证明：数列为等比数列，并求.（2）求数列的前项和.20. 已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.21.已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的短轴长为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.高三考试数学试卷参考答案（文科）1.C 因为，所以的实部小于的实部，的虚部大于的虚部.2.A 因为，所以.3.A 水费开支占总开支的百分比为.4.B 的最大值为2，的最小正周期为1，. 5.A ，.6.D 因为双曲线的离心率为，且，所以.7.D 随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02.8.C 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4.9.D 因为，所以，所以.10.C 依题意可得f(x)在(2,+)上单调递增,则11.B连接，易证，所以直线与直线共面.易证，所以异面直线与所成角为.设，则，则，由余弦定理，得.12.D设，联立得，则.因为直线经过的焦点，所以.同理可得，.13. 因为，所以，又，所以.14.1； 因为， ，两两垂直，且，所以四面体的体积，球的表面积为.15. 记牛奶薄荷味的两颗糖为，巧克力味的两颗糖为，草莓味的两颗糖为，则的儿子分到的糖的所有情况为，共20种，其中都含，的有8种，故所求概率为.16. 令，.当时，；当时，.故.17.（1）证明：因为为的中点，所以，所以，从而.又，所以底面，所以.因为四边形是正方形，所以.又，所以平面.（2）解：由（1）知平面，因为，所以平面，因为平面，所以，所以的面积为.易证，所以的面积为.故三棱锥的侧面积为.18.解：（1），解得.当时，故公司产品投入成本30万元后产品的销售收入约为元.（2）（i）当时， ，产品对应的毛利率为.（ii）当时，产品对应的毛利率为，故产品的毛利率更大.19.（1）证明：，又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，当时，故.（2）解：当时，则.又，.20.解：（1）.当时，则在上单调递增.当时，令，得.（i）当时，令，得；令，得.所以得单调递减区间为，单调递增区间为.（ii）当时，令，得；令，得或.所以得单调减区间为，单调递增区间为，.（iii）当时，令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）因为，所以，当时，所以在上单调递增，因为，所以，解得，故所求不等式的解集为.21.（1）证明：椭圆经过点，当且仅当，即时，等号成立，又，的短轴长为.（2）解：椭圆的焦距为2，又，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，在椭圆上，到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为，由，得，设，则，即，到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为存在定圆，使得圆与直线总相切.22.解：（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得.由曲线的极坐标方程为，得，所以的直角坐标方程为，即.（2）因为在曲线上，故可设曲线的参数方程为（为参数），代入化简可得.设对应的参数分别为，则，所以.23.（1）解：，不等式，即或或，即或或，所以所求不等式的解集为.（2）证明：，.因为，所以要证，只需证，即证，因为，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.- 13 -