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高三考试数学试卷(文科)考生注意:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若,则( )A.的实部大于的实部B.的实部等于的实部C.的虚部大于的虚部D.的虚部小于的虚部2.已知集合,则( )A.B.C.D.3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为( ) A.B.C.D.4.若函数,则( )A.的最大值为1B.C.的最小正周期为2D.5.设非零向量,满足,则( )A.B.C.2D.6.设双曲线,的离心率分别为,则( )A.B.C.D.7.将60个个体按照01,02,03,60进行编号,然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数(下表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54则抽取的第11个个体的编号是( )A.38B.13C.42D.028.若,则的最小值为( )A.2B.C.4D.9.若,则( )A.B.C.D.10.已知函数的图象关于点对称,当时,且在上单调递增,则的取值范围为( )A.B.C.D.11如图,在正四棱柱中,,分别为,的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则( )A.直线与直线异面,且B.直线与直线共面,且C.直线与直线异面,且D.直线与直线共面,且12.已知直线与抛物线:交于,两点,直线与抛物线:交于,两点,设,则( )A.B.C.D.第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.,分别为内角, ,的对边.已知,则_.14.四面体的每个顶点都在球的球面上, ,两两垂直,且,则四面体的体积为_,球的表面积为_ .(本题第一空2分,第二空3分)15.小林手中有六颗糖果,其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗,现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人,则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为_.16.函数的最小值为_.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.如图,四棱锥的底面是正方形,为的中点,.(1)证明:平面.(2)求三棱锥的侧面积.18. 某公司产品生产的投入成本(单位:万元)与产品销售收入(单位:十万元)存在较好的线性关系,下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据,且根据这8组数据计算得到关于的线性回归方程为.(万元)6781112141721(十万元)1.21.51.722.22.42.62.9(1)求的值(结果精确到0.0001),并估计公司产品投入成本30万元后产品的销售收入(单位:元).(2)该公司产品生产的投入成本(单位:万元)与产品销售收入 (单位:十万元)也存在较好的线性关系,且关于的线性回归方程为.()估计该公司产品投入成本30万元后的毛利率(毛利率=);()判断该公司,两个产品都投入成本30万元后,哪个产品的毛利率更大.19. 设为数列的前项和,且.(1)证明:数列为等比数列,并求.(2)求数列的前项和.20. 已知函数.(1)讨论在上的单调性;(2)若,求不等式的解集.21.已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.(1)证明:当取得最小值时,椭圆的短轴长为.(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中,已知点,的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程;(2)设曲线与曲线相交于,两点,求的值.23.已知函数.(1)求不等式的解集;(2)设的最小值为,正数,满足,证明:.高三考试数学试卷参考答案(文科)1.C 因为,所以的实部小于的实部,的虚部大于的虚部.2.A 因为,所以.3.A 水费开支占总开支的百分比为.4.B 的最大值为2,的最小正周期为1,. 5.A ,.6.D 因为双曲线的离心率为,且,所以.7.D 随机数表第9行第9列为2,抽取的个体分别为29,56,07,52,42,44,38,15,51,13,02,第11个个体为02.8.C 因为,所以,则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为4.9.D 因为,所以,所以.10.C 依题意可得f(x)在(2,+)上单调递增,则11.B连接,易证,所以直线与直线共面.易证,所以异面直线与所成角为.设,则,则,由余弦定理,得.12.D设,联立得,则.因为直线经过的焦点,所以.同理可得,.13. 因为,所以,又,所以.14.1; 因为, ,两两垂直,且,所以四面体的体积,球的表面积为.15. 记牛奶薄荷味的两颗糖为,巧克力味的两颗糖为,草莓味的两颗糖为,则的儿子分到的糖的所有情况为,共20种,其中都含,的有8种,故所求概率为.16. 令,.当时,;当时,.故.17.(1)证明:因为为的中点,所以,所以,从而.又,所以底面,所以.因为四边形是正方形,所以.又,所以平面.(2)解:由(1)知平面,因为,所以平面,因为平面,所以,所以的面积为.易证,所以的面积为.故三棱锥的侧面积为.18.解:(1),解得.当时,故公司产品投入成本30万元后产品的销售收入约为元.(2)(i)当时, ,产品对应的毛利率为.(ii)当时,产品对应的毛利率为,故产品的毛利率更大.19.(1)证明:,又,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,则,当时,故.(2)解:当时,则.又,.20.解:(1).当时,则在上单调递增.当时,令,得.(i)当时,令,得;令,得.所以得单调递减区间为,单调递增区间为.(ii)当时,令,得;令,得或.所以得单调减区间为,单调递增区间为,.(iii)当时,令,得;令,得.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)因为,所以,当时,所以在上单调递增,因为,所以,解得,故所求不等式的解集为.21.(1)证明:椭圆经过点,当且仅当,即时,等号成立,又,的短轴长为.(2)解:椭圆的焦距为2,又,.当直线的斜率不存在时,由对称性,设,在椭圆上,到直线的距离.当直线的斜率存在时,设的方程为,由,得,设,则,即,到直线的距离.综上,到直线的距离为定值,且定值为存在定圆,使得圆与直线总相切.22.解:(1)由的参数方程(为参数),消去参数可得.由曲线的极坐标方程为,得,所以的直角坐标方程为,即.(2)因为在曲线上,故可设曲线的参数方程为(为参数),代入化简可得.设对应的参数分别为,则,所以.23.(1)解:,不等式,即或或,即或或,所以所求不等式的解集为.(2)证明:,.因为,所以要证,只需证,即证,因为,所以只要证,即证,即证,因为,所以只需证,因为,所以成立,所以.- 13 -
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