1 无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 第七节无穷小的比较 2 一 无穷小的比较 4 0 01 0 0001 0 1 0 01 0 001 0 000001 定义 记作 是同一过程中的两个无穷小 高阶的无穷小 低阶的无穷小 无穷小的比较 同阶无穷小 6 定义 记作 是同一过程中的两个无穷小 等价无穷小 无穷小的比较 k阶无穷小 7 所以当x 0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2 o x x 0 例比较无穷小 所以当x 0时 1 cosx与x2的同阶无穷小 当x 0时 1 cosx是x的二阶无穷小 9 10 11 12 13 14 二 利用等价无穷小替换求极限 定理1 即两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小 反之亦然 原因 他们太接近了 所以它们的差远远小于它们之中的任何一个 15 定理1 证 因此 设 则 因此 设 则 16 例 所以 所以 所以 所以 17 定理2 证 等价无穷小替换定理 定理2 等价无穷小替换定理 替换意义 复杂 简单 19 将常用的等阶无穷小列举如下 当x 0时 20 例2 解 21 解 例3求 22 求 练习 解 23 例4 解 解 错 注 加 减项的无穷小不要用等价无穷小代换 24 例5 解 25 求 例6 解 26 求 例7 解 27 练习 解 28 1 无穷小的比较 2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法 注意适用条件 高 低 阶无穷小 同阶 等价 无穷小 无穷小的阶 小结 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 但并不是所有的无穷小都可进行比较 快慢