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一、单项选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。1 对函数,原点 【 B 】 (A)不是驻点. (B)是驻点却不是极值点.(C)是极大值点. (D)是极小值点.2 微分方程 【 D 】 (A) 不是可分离变量的微分方程 (B)是齐次微分方程(C)是一阶线性齐次微分方程 (D)是一阶线性非齐次微分方程3级数的敛散情况是 【 C 】(A) 条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)敛散性不能确定4设为球面的表面,则 = 【 A 】(A)0 (B) (C) (D) 15将二次积分交换积分次序后得 【 B 】(A) (B) (C) (D)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中的横线上.6曲线在点处的切线方程为, 法平面方程为.7试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数:分解已知正数为三个正数之和,使的倒数之和最小.8函数的麦克劳林级数的收敛域为, -30 .9设函数是的以为周期的傅立叶级数的和函数,则 , .10确定了隐函数,则在点处的全微分为 .三、计算下列各题:本大题共6小题,每小题9分,共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11设函数,其中具有二阶连续偏导数,求,解 12计算三重积分,其中为旋转抛物面与平面 所围成的区域. 解: 利用柱面坐标: 13利用高斯公式计算曲面积分 其中是球面的内侧. 解:将球面方程代入,得: 利用高斯公式,设球面所围闭区域为, .14计算其中是由直线上从点 到点上的一段及圆弧上从到的一 段连接而成的有向曲线.解:补线,围成封闭曲线,其所围闭区域为,在其上使用格林公式, 15 求(1)幂级数的收敛域;(2)幂级数的和函数.解:(1)求收敛域 则该级数在内收敛. 时,级数为,收敛 时,级数为,收敛,该级数的收敛域为. (2)求和函数 设 两边同时对x求导,得 两边同时对x积分,得 由于所以16设函数满足,且, 求.解:两边求导得,即: 这是二阶常系数非齐次线性方程,且(1) 先解对应的齐次方程 特征方程为特征根为 对应齐次方程的通解为(2) 再求非齐次方程的一个特解 设特解为 求,代入方程化简得 则所求特解为(3) 求原方程的特解 原方程的通解为 将初始条件代入得 则四、 证明题: 本题共1题,6分.17. 证明:.证明:其中用到了
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