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第5讲 等差数列前n项和公式1.了解等差数列前n项和公式的推导过程;2.掌握等差数列前n项和公式;并会运用等差数列的前n项和公式;3.提高学生类比化归、数形结合的能力,熟悉等差数列的性质、公式与方程的联系.1.等差数列前n项和公式的推导和应用;2.等差数列前n项和与等差数列性质的综合运用;3.等差数列前n项和与函数的应用.等差数列的前n项和公式:(其中A、B是常数,所以当d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)方法一:等差数列前n项和的推导:设等差数列前n项和为 ,则 两式相加得,,又,.方法二:同样利用倒序相加求和法,教材做了如下处理:两式相加得:,,又,.综上.例1.在等差数列an中,a11,a33.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和Sk35,求k的值【答案】(1)an=3-2n;(2)k=7【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2,从而,an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(2)由()可知an=3-2n,所以,进而由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5,又kN*,故k=7为所求练习1.等差数列中,=100,求的值( )A.12 B.20 C.36 D.48【答案】B【解析】,所以,即练习2.已知等差数列中,=1,d=1,求该数列前10项和.【答案】55【解析】,熟练掌握等差数列前n项和公式的灵活应用等差数列前n项和中的最值问题:方法1:将等差数列前n项和Sn化成()的二次函数形式当d0时,Sn开口向上,Sn有最小值;当d0时,Sn开口向下,Sn有最大值(当对称轴为正整数数时,在对称轴处取最值;当对称轴为分数时,在离对称轴最近的正整数值处取最值)方法2:当a10,d0时,Sn有最小值,且在n满足an0,an+10时取最小值;当a10,d0时,Sn有最大值,且在n满足an0,an+10时取最小值(nN+)例2.已知等差数列an的前n项和为,a1=24,,问数列an的前多少项之和最大,并求此最大值.【答案】当n=13或n=14时,取得最大值,且最大值为168【解析】解法1:,解得d=,当n=13或n=14时,取得最大值,且最大值为168解法2:,解得d=,令,解得13n14当n=13或n=14时,取得最大值,且最大值为168练习1.已知数列是一个等差数列,且,.(1)求的通项;(2)求前n项和的最大值.【答案】(1)(2)最大值为4.【解析】(1)由已知条件可得,.,所以当n=2时,取得最大值,且最大值为4练习2.等差数列中,问:数列前多少项之和最大,并求此最大值.【答案】n=13时,取得最大值,且【解析】解法1:由,得解得d=-2,所以当n=13时,取最大值,且.解法2:由,解得d=-2,令,得,又所以当n=13时,取最大值,且.练习3.是等差数列,是其前项和,若,求使得最大的的值.【答案】n=8【解析】,所以当n=8时,取得最大值掌握等差数列前n项和与通项的关系,等差数列前n项与二次函数的关系等差数列性质与等差数列前n项和的综合应用1.2.,分别是等差数列的前n项和,前2n项和,前3n项和,则,-,-仍成等差数列.3.设等差数列和的前n项和分别为,则.4.非零等差数列中,设,则;.5.是以d为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.6.等差数列的前n项和为无常数项的二次函数(d0).例3.在等差数列中,若,Sn是数列的前项和,则的值为( )A48 B54 C60 D66【答案】B【解析】,练习1.等差数列中,其前n项和,则( )A9 B10 C11 D12 【答案】B【解析】,练习2.等差数列的前项和为,若( )A12 B10 C8 D6【答案】C【解析】练习3.【答案】250【解析】,又,例4.等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn,,则=_【答案】【解析】,,,练习1.已知等差数列an、bn满足,(),且前n项和分别为,则的值为_【答案】【解析】由等差数列求和公式可知,所以例5.在项数为2n的等差数列中,各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则n之值是多少?【答案】5【解析】,又,即练习2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 ( )A5 B4 C3 D2【答案】B【解析】设等差数列为an,且前n项和为,由已知可得,所以5d=30-15,解得d=3例6.设是等差数列的前项和,若则 ( )A. B C D【答案】A【解析】解法1:,即解法2:由题意可得,-,-,-成等差数列,设=1,=3,则-=2,-=3,-=4,练习1.已知等差数列an的前n项和为,且,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得,-,-,-成等差数列,设,则-=2,-=3,-=4练习2.在等差数列中,已知前10项和为5,前20项和为15,则前30项和为( )A20 B25 C30 D35 【答案】C【解析】设等差数列为an,且前n项和为,由已知可得,因为,-,-成等差数列,解之得例7.设等差数列的前n项和为,且满足,求它的通项公式.【答案】【解析】当n2时,所以当n2时,当n=1时,不满足上式练习1.设等差数列的前n项和公式是,求它的通项公式.【答案】【解析】当n2时,所以当n2时,当n=1时满足上式,掌握并会灵活应运等差数列性质在等差数列前n项和中的应用1.2.,分别是等差数列的前n项和,前2n项和,前3n项和,则,-,-仍成等差数列.3.设等差数列和的前n项和分别为,则.4.非零等差数列中,设,则;.5.是以d为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.6.等差数列的前n项和为(其中,)无常数项的二次函数(d0)7.前n项和与通项的关系.8.等差数列中的最值的求法:将等差数列前n项和Sn化成()的二次函数形式,当d0时,Sn开口向上,Sn有最小值;当d0时,Sn开口向下,Sn有最大值(当对称轴为正整数数时,在对称轴处取最值;当对称轴为分数时,在离对称轴最近的正整数值处取最值).
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