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第5讲 等差数列的前n项和公式(第一种方式)古代有关数列求和问题的故事我国数列求和的概念起源很早,古书周髀算经里谈到“没日影”时,已出现了简单的等差数列;九章算术中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念.到南北朝时,张丘建始创等差数列求和解法.他在张丘建算经里给出了几个等差数列问题.例如:“今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织几何?”原书的解法是:“并初、末日织布数,半之,余以乘织讫日数,即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式.再如:“今有女子善织布,逐日所织的布以同数递增,初日织五尺,计织三十日,共织九匹三丈,问日增几何?”书中给出了计算公式d=()(n-1).这个公式等价于现今中学课本里的公式:.大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事.(第二种方式)印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一,所在地阿格拉市,泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗?(这问题赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,引领学生步入探讨高斯算法的阶段)生 只要计算出1+2+3+100的结果就是这些宝石的总数.师 对,问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢?这里还有一段故事.高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+100=?”过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+100=5 050.”教师问:“你是如何算出答案的?”高斯回答说:因为1+100=101;2+99=101;50+51=101,所以10150=5 050.师 这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是:1+100=2+99=3+98=50+51=101,有50个101,所以1+2+3+100=50101=5 050.师 对,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5 050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.师 问:数列1,2,3,100是什么数列?而求这一百个数的和1+2+3+100相当于什么?生 这个数列是等差数列,1+2+3+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.师 对,这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.
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