资源预览内容
第1页 / 共10页
第2页 / 共10页
第3页 / 共10页
第4页 / 共10页
第5页 / 共10页
第6页 / 共10页
亲,该文档总共10页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第4讲 等差数列的概念、性质1.理解等差数列的基本概念,掌握等差中项的计算方法,学会等差数列的证明方法。2.掌握等差数列的通项公式,并能够解决一些简单问题。3.掌握等差数列的基本性质,并熟练运用等差数列性质计算关于求解基本量的综合题。1.理解等差中项,运用等差中项是难点。2.理解等差数列与一次函数的关系是难点。3.熟练运用等差数列性质,求解数列基本量及数列通项公式是重点。等差数列的概念1、等差数列的定义: (1)文字语言:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示。 (2)符号语言:在数列 an 中,如果 an+1-an=d,nN 或 an-an-1=d,n2,nN 成立,则称数列 an 为等差数列,常数d称为等差数列的公差。 (3)递推关系:an+1-an=d,nN 或 an-an-1=d,(n2,nN).注意: “从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项; “每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”; d 是等差数列的公差,即 d=an+1-annN 或 d=an-an-1(n2,nN),d 可以为零,当 d=0 时,等差数列为常数列,也就是说,常数列是特殊的等差数列。2、等差中项:由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a与b 的等差中项,如数 2,4,6是等差数列,4叫做2与6的等差中项。3、等差数列的证明:(1) 定义法:利用 an+1-an=d常数 或 an-an-1=d常数 (n2)等价于数列 an 是等差数列;(2) 等差中项法:利用2an=an-1+an+1(n2)等价于数列 an 是等差数列。例1. 判断下列数列是否为等差数列 :(1)2 , 2 , 2 , 2 , 2;(2)cos0,cos1,cos2,cos3,cos4;(3)3m,3m+a,3m+2a,3m+3a,其中a为常数;(4)a-1,a+1,a+3.【答案】(1)是;(2)不是;(3)是;(4)是【解析】(1)2-2=2-2=2-2=2-2=0, 该数列是等差数列.(2)cos1-cos0cos3-cos2, 该数列不是等差数列.(3)3m+a-3m=3m+2a-3m+a=3m+3a-3m+2a=a,a为常数, 该数列是等差数列.(4)a+1-a-1=a+3-a+1=2, 该数列是等差数列.练习1. 判断下列数列是否为等差数列:(1)2 , 4, 6, 8,2n-1,2n;(2)1 ,1 ,2 ,3 ,4 ,n.【答案】(1)是;(2)不是【解析】(1) 4 -2=6 - 4=8 - 6= =2n - 2(n-1)=2, 该数列是等差数列;(2) 1-12-1, 该数列不是等差数列. 在等差数列的定义中,需注意(1)从第2项起,包括了数列中任意相邻两项,而无遗漏.(2) “差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样,如数列1,5,3,7中,a2-a1=5-1=4,是常数;a3-a2=7-3=4,是常数.差都是常数,但是很明显该数列不是等差数列,所以强调“差是同一个常数”,这是等差数列定义的核心.例2. 在-1与-7 之间顺次插入三个数 a,b,c 使这五个数成等差数列,求此数列.【答案】-1 ,1 ,3 ,5 ,7【解析】解:设此数列为an,且公差为d ,由题意得a1=-1,a5=7,,7=-1+(5-1)d,d=2,所求的数列为 -1 ,1 ,3 ,5 ,7 .练习1.若实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 也成等差数列,则 b-a=( )A.4 B.2 C.-2 D.0【答案】D【解析】由题意得 2b=a+c2a=b+c ,两式相减得 2(b-a)=a-b,3(b-a)=0,b-a=0. 在等差数列an中,由定义有an+1-an=an-an-1n2,nN*,即an=an+1+an-12,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.例3.已知数列 an 的通项公式为 an=an+ba,bR且a,b为常数,求证:数列 an 为等差数列.【答案】见解析【解析】an+1-an=an+1+b-an+b=a,a 为常数,故数列 an 为等差数列.练习1.已知数列an 的通项公式为 an=4-2n ,求证:数列 an 为等差数列.【答案】见解析【解析】证明:an=4-2n,an+1=4-2n+1=2-2n,an+1-an=2-2n-4-2n=-2,数列 an 为等差数列.除了定义法,在实际做题中也要熟悉并运用等差中项法证明等差数列,即2an=an-1+an+1(n2)等差数列的通项公式1、 等差数列的通项公式:等差数列的通项公式为 an=a1+n-1d ,其中 a1 为首项,d 为公差。2、等差数列通项公式的变形应用:an=am+n-md 或 d=an-amn-m(m,nN*,mn)3、等差数列与一次函数的关系: 由等差数列的通项公式 an=a1+n-1d ,可得 an=dn+(a1-d),当 d0 时,an 是关于自变量n的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,因此从图像上看,表示数列 an 的各点均匀分布在一条直线上,当 d=0时,an=a1,等差数列为常数列,此时数列的图像是平行于 x 轴的直线上的均匀分布的一系列孤立的点。总之,等差数列的图像是直线 y=dx+a1-d 上均匀排开的一系列孤立的点。例4.在等差数列 an 中,(1)已知 a1=6,d=3,求 a8;(2)已知 a4=10,a10=4,求 a7和d;(3)已知 a2=12,an=-20,d=-2,求n;(4)已知 a7=12,d=-2,求 a1.【答案】(1)27 (2)7 (3)18 (4)252 【解析】(1)a1=6,d=3,an=6+3n-1=3n+3. a8=38+3=27.(2)a4=10,a10=4,d=a10-a410-4,an=a4+n-4-1=-n+14. a7=-7+14=7.(3)a2=12,d=-2,a1=a2-d=12-2=14.an=14-2n-1=16-2n=-20,n=18.(4)a7=a1+6d=a1-12=12 ,a1=252 .练习1.在等差数列 an 中,a3=5,a7=13,求其通项公式.【答案】2n-1【解析】设数列 an 的公差为d,由题意得,a3=a1+2d=5a7=a1+6d=13 ,解得 a1=1d=2 ,则an=a1+n-1d=2n-1练习2.已知等差数列an 中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列中的项,如果是,是第几项?【答案】是,第45项【解析】设数列an 的公差为 d ,则an=a1+n-1d,a15=33,a61=217,33=a1+14d217=a1+60d ,解得a1=-23d=4,an=-23+4n-1=4n-27,153是数列an中的项,是第45项. 等差数列的通项公式:(1)确定a1和d 是确定通项公式的一般方法.(2)由方程思想,根据 an,a1,n,d 中任何三个量可求解另一个量,即知三求一.(3)通项公式可变形为 an=dn+a1-d,当d0时,可把 an 看做自变量为 n 的一次函数.例5.已知数列an的通项公式为an=pn2+qn+r(p,q,rR,且p,q,r 为常数).(1)当 p,q,r 满足什么条件时,数列an 是等差数列?(2)设bn=an+1-an,求证 bn 是等差数列.【答案】(1)p=0; (2)见解析【解析】(1)解:欲使 an 是等差数列,则an+1-an=pn+12+qn+1+r-pn2+qn+r=2pn+p+q 应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0时,数列an 是等差数列.(2)证明:bn=an+1-an=2pn+p+q,bn+1-bn=2pn+1+p+q-2pn-p-q=2p 为常数,bn 是等差数列.练习1.已知等差数列 an 中,a3=11,a8=31,求a10.【答案】39【解析】(待定系数法)设an=an+b,由已知条件得3a+b=118a+b=31 ,解得 a=4b=-1 ,an=4n-1,a10=39. 若等差数列的公差d0,则通项公式为一次函数类型,若数列的通项公式为一次函数类型,则该数列为等差数列.等差数列的性质数列an为等差数列,公差为d,根据等差数列的定义及通项公式,可以推导等差数列的如下性质:(1)若 m+n=p+q m,n,p,qN* ,则 am+an=ap+aq.这一性质有如下推论:若 m+n=2k m,n,kN*,则 am+an=2ak;若 an 为有穷等差数列,则与首尾两项等距离的两项之和都相等,且等于首尾两项之和,即 a1+an=a2+an-1= =ai+1+an-i= .(2)下标成等差数列且公差为 m 的项:ak,ak+m,ak+2m,k,mN* 组成公差为md的等差数列 . 如:a1,a3,a5,成等差数列,且公差为 2d 。(3)数列 an+b(,b为非零常数)是公差为 d 的等差数列.(4)若数列 bn 也是等差数列,则数列 anbn,kanbn (k为常数) 为等差数列.例6. 已知等差数列 an .(1)若 a2+a3+a25+a26 = 48,求 a14 ;(2)若 a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52, 求公差 d .【答案】(1)12 (2)3或 -3【解析】(1)a2+a26=a3+a25=2a14, a2+a3+a25+a26=4a14=48. 解得a14=12.(2) a2+a5=a3+a4, a2+a3+a4+a5=2a2+a5=34. 解得 a2+a5=17. 又已知a2a5=52,联立解得a2=4,a5=13,或a2=13,a5=4,当a2=4,a5=13时,d=a5-a25-2 ;当a2=13,a5=4时,d=a5-a25-2=-3,d=3或-3.练习1.在等差数列 an 中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8=_.【答案】10【解析】因为 an 是等差数列,所以 a3+a7=a4+a6= a2+a8=2a5, a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即 a5=5,所以 a2+a8=2a5=10,故应填10.练习2. a15=10,a45=90,求a60.【答案】130【解析】 在等差数列an中,a15,a30,a45,a60 成等差数列,a30=a15+a452 = 10+902=50,a60=2a45-a30=290-50=130.等差数列常用的性质:(1)d=an-a1n-1=am-akm-km,n,kN*.(2)若m+n=p+q m,n,p,qN* ,则 am+an=ap+aq.(3)若 m+n=2k m,n,kN*,则 am+an=2ak.例7.已知等差数列 an 中,a1+a
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号