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演练方阵第6讲 等比数列的概念、性质等比数列的概念类型一:等比数列通项公式的应用考点说明:利用通项公式求基本量是等比数列中最常见、也是最简单的考点【易】1.若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为( )A. 3 B. 4 C. 5 D.6【答案】B 【解析】9823n-1=13,23n-1=827=233,n=4.【易】2.已知等比数列前3项为12,-14,18,则其第8项是 .【答案】-1256【解析】a1=12,a2=a1q=12q=-14,q=-12,a8=a1q7=12-127=-1256.【易】3.已知等比数列的前三项为4,-8,16,则第4项和第5项分别为多少?【答案】-32和64【解析】由题可知,该等比数列的首项a1=4,公比q=-84=-2,a4=a1q3=4-23=-32,a5=a4q=-32-2=64.【中】4.已知等比数列an中,a1=127,a7=27,求an.【答案】an=3n-4或an=-3n-4【解析】由a7=a1q6,得27=127q6,q6=272=36,q=3. 当q=3时,an=a1qn-1,当q=-3时,an=a1qn-1=127-3n-1=-3-3-3n-1=-3n-4. 故an=3n-4或an=-3n-4.【中】5.各项都是正数的等比数列an的公比q1,且a2,12a3,a1成等差数列,则a3+a4a4+a5的值为( )A.1-52 B.5+12 C.5-12 D. 5+12或5-12【答案】C 【解析】a2,12a3,a1成等差数列,a3=a2+a1,an是公比为q的等比数列,a1q2=a1q+a1,q2-q-1=0,q0,q=5+12.a3+a4a4+a5=a3+a4a3+a4q=1q,=5-12【中】6已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是( )ABC或D【答案】A【解析】设d和q分别为公差和公比,则413d且4(1)q4,d1,q22,【难】7.已知等比数列an为递增数列,且a52=a10,2an+an+2=5an+1,则数列an的通项公式an= .【答案】b6与数列an第63项相等【解析】设数列an的公比为q,则由2an+an+2=5an+1,得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=12,又a52=a10=a1q90,所以a10,又数列an递增,所以q= 2. 所以,由a52=a10,即a1q42=a1q9,得a1=q=2,所以an=2n.【难】8.已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求数列an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等?【答案】2n【解析】(1)设等差数列an的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2n-1=2n+2(n=1,2,) .(2) 设等比数列bn公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,即b1q=8,b1q2=16,所以q=2,b1=4.所以b6=426-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列an第63项相等.类型二:等比中项的应用考点说明:等比中项是等比数列问题中的高频考点【易】1.已知-1,x,-4成等比数列,则x的值为( )A. 2 B.-52 C. 2或-2 D.2或-2【答案】C【解析】由题意,得x2=4,x=2【易】2.已知等差数列an的公差为2,若a3是a1与 a4的等比中项,则a2= ( )A.-4 B.-6 C. -8 D.-10【答案】B【解析】由题意,得a32=a1a4,即a1+42=a1a1+6,解得a1=-8 ,a2=a1+d=-8+2=-6.【易】3. 在等比数列an中,已知a1=19,a5=9,则a3=( )A. 1 B. 3 C. 1 D. 3【答案】A【解析】由等比数列等比中项定义可知a3是a1和a5的等比中项,所以a32=a1a5=1,且a3与a1和a5同号,即a3=1.【中】4. 若正数组成等比数列,则一定是 ( )A. 等差数列 B.既是等差数列有是等比数列 C. 等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】设公比为q,因为a,b,c组成等比数列,则b2=ac,log2a+log2c=log2ac= log2aaq2=log2a2q2=2log2aq=2log2b,所以log2a,log2b,log2c成等差数列.【中】5.若成等差数列,而和都分别成等比数列,则的值为( )A16 B15 C14 D12【答案】D【解析】因为a,b,c成等差数列,而和都分别成等比数列,所以2b=a+cb2=a+1cb2=ac+2,计算得出a=8,b=12,c=16,所以D为正确答案.【中】6.等比数列an的前三项的和为168,a2-a5=42,求a5、a7的等比中项.【答案】3【解析】设该等比数列的公比为q,首项为a1,a2-a5=42,q1,由已知,得a1+a1q+a1q2=168a1q-a1q4=42,a11+q+q2=168a1q1-q3=42 1-q3=1-q1+q+q2,由得q1-q=14,q=12,a1= 4212-124=96.令G是a5、a7的等比中项,则应有G2=a5a7=a1q4a1q6=a12q10=9621210=9 ,a5、a7的等比中项是3.【难】7.已知an为等差数列,其公差为2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为( )A. -110 B. -90 C. 90 D. 110【答案】D【解析】a7是a3与a9的等比中项,公差为-2,所以a72 =a3a9,所以a72=(a7+8)(a7-4),所以a7=8,所以a1=20,所以S10= 1020+1092(-2)=110,故选D.【难】8.在数列an中,an0,a1=12,如果an+1是1与2anan+1+14-an2的等比中项,那么 a1+a222+a332+a442+a1001002的值是 .【答案】100101【解析】由题意可得,an+12=2anan+1+14-an22an+1+anan+1+12an+1-anan+1-1=0,2an+1-anan+1-1=0,由2-an0,an+1=12-anan+1-1=an-12-an,又可知an1,1an+1-1=1an-1-1,1an-1是以1a1-1为首项,-1为公差的等差数列,1an-1=112-1-n-1=-n-1an=nn+1ann2=1nn+1=1n-1n+1,a1+a222+a332+a442+a1001002=1-12+12-13+13-14+1100-1101=100101 .【难】9.在4与14之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.【答案】2 ,1,12 或-2,1,-12【解析】此等比数列共5项,a3是a1与a5的等比中项,因此a3=a1a5=1.a2是a1与a3的等比中项,a4是a3与a5的等比中项.因为一个正数和一个负数没有等比中项,所以a3=1 ,a2=a1a3=2,a4=a3a5=12.因此,插入的3项依次为2 ,1,12 或-2,1,-12.类型三:等比数列的判定考点说明:关于等比数列的判定是高考高频考点之一,通常以解答题形式出现.【易】1. 已知数列an的通项公式为an=134n-1,试问这个数列是等比数列么?【答案】是等比数列【解析】考查等比数列的定义因为当n2时,anan-1=134n-134n-2=4,所以数列an是等比数列.【易】2.在数列an中,an=(3n-1)2n-2,设bn=an3n-1,证明:bn是等比数列.【答案】见解析【解析】an=3n-12n-2,bn=an3n-1=2n-2,bn+1bn=2n-12n-2=2.又b1=a131-1=12,数列bn是首项为12,公比为2的等比数列.【易】3. 已知等比数列an的前n项和Sn=2an+1nN*.求证:数列an是等比数列.【答案】见解析【解析】Sn=2an+1nN*,Sn-1=2an-1+1n2,两式相减,得an=2an- 2an-1,an=2an-1,即anan-1=2n2. 故数列an是等比数列.【中】4已知数列an的前n项和为Sn=4an-3(nN*),证明:数列an是等比数列【答案】见解析【解析】Sn=4an-3nN*,Sn-1=4an-1-3n2,两式相减,得an=4an- 4an-1,an=43an-1,即anan-1=43n2. 故数列an是等比数列.【中】5. 已知数列an的首项a1=5,前n项和Sn,且Sn+1=2Sn+n+5nN*.求证数列an+1是等比数列.【答案】见解析【解析】Sn+1=2Sn+n+5nN*,Sn=2Sn-1+n+4n2,两式相减,得an+1=2an+1,an+1+1=2an+1,an+1+1an+1=2n2.S2=2S1+6=2a1+6=16,a1+a2=16,a2=16-a1=11. a2+1=12=2a1+1. an+1+1an+1=2nN*,又a1+1=6,即数列an+1是首项为6,公比为2的等比数列.【难】6.设数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn,n=1,2,3.求证:数列Snn是等比数列.【答案】见解析【解析】an+1=Sn+1-Sn , an+1=n+2nSn ,n+2Sn=nSn+1-Sn .整理得nSn+1=2n+1Sn, Snn+1=2Snn , 故Snn是以2为公比的等比数列.【难】7. 设数列an的首项a1=a14,且an+1=12an n为偶数an +14n为奇数,记bn=a2n-1-14,n=1,2,3(1)求a2,a3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论.【答案】见解析【解析】(1)a2=a1+14=a+14,a3=12a2=12a+18;(2)a4=a3+14=12a+18,所以a5=12a4=14a+316,所以b1=a1-14=a-14,b2=a3-14=12a-14 ,猜想:bn是公比为12的等比数列.证明如下:因为bn+1=a2n+1-14=12a2n-14=12a2n-1-14=12bn(nN*),所以bn是首项为a-
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