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演练方阵第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线位置关系类型一 直线与圆锥曲线位置关系判断考点说明:位置判断是基本考点【易】1、已知直线,椭圆,则直线与椭圆的位置关系是( )A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【解析】由于直线恒过过椭圆内部一点,所以直线与椭圆相交,故选择A.【易】2、已知直线,抛物线,则直线与抛物线的位置关系是( )A相交B相切C相离D不能确定【答案】B【解析】把直线代入抛物线方程,得,由于,所以直线与椭圆相切,故选择B.【易】3、(2015河北定州中学月考2006福建高考)已知直线与抛物线相切,则 【答案】【解析】把直线代入抛物线方程,得,当时,方程仅有一解,但不是抛物线,不符合题意,由于,解得.【中】4、(2016秋福建期末)过点与抛物线只有一个公共点的直线有( )A无数多条 B3条 C2条 D1条【答案】B【解析】抛物线的焦点为,当过点的直线斜率不存在时,直线方程为,它与抛物线只有一个公共点;当过点的直线斜率等于零时,直线方程为,它与抛物线只有一个公共点;当过点的直线斜率存在且不等于零时,设直线方程为,代入抛物线方程可得,由,可得,此时直线方程为. 综上满足条件直线有3条,选择B.【中】5、(2015河北定州中学月考)已知直线,椭圆,则直线与椭圆的位置关系不可能的是( )A相交 B相切 C相离 D以上情况都有可能【答案】C【解析】由于直线恒过过椭圆上一点,所以直线与椭圆不可能相离,选择C【中】6、已知直线与椭圆的位置关系是( )A相交 B相切 C相离 D不能确定【答案】A【解析】由于直线恒过定点,又点在椭圆内,所以直线与椭圆相交,选择A【难】7、(2016安徽皖南八校联考)若直线与圆没有公共点,设点的坐标为,则过点的一条直线与椭圆的公共点个数为( )A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】由,得,由,得又不同时为零,所以,所以,由椭圆方程知其长半轴长为2,短半轴长为,所以可知点在椭圆内部,所以过点的一条直线与椭圆的公共点个数为2,故选C.【难】8、(2016永昌县级期末)直线与曲线( )A没有交点 B只有一个交点 C有两个交点 D有三个交点【答案】D【解析】(1)当时,可转化为,直线代入曲线方程得,解得,此时直线与曲线有两个交点;(2) 当时,可转化为,直线代入曲线方程得,解得,此时直线与曲线有一个交点,综上可得,此时直线与曲线有三个交点,选D.类型二 直线与圆锥曲线位置关系综合问题考点说明:位置关系问题是常考考点【易】1、已知直线与椭圆相切,则的取值情况为( )A0BCD【答案】A【解析】由图象可知,当时,直线与椭圆相切,选择A【易】2、若无论取何值时,直线与双曲线总有公共点,则的取值范围为( )A B C D【答案】B【解析】因为直线过点,因为当时,所以,所以,选择B.【易】3、设抛物线的准线与轴交于点.过点的直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线的斜率是 【答案】0或1或【解析】由题意得,设直线的方程为,代入抛物线方程得,当时,直线与抛物线只有一个交点;当时,由,解得;综上,或 或.【中】4、若直线与双曲线的右支有两个不同的交点,则的取值范围是_【答案】【解析】将代入,化简得,双曲线的渐近线的斜率为,过定点,数形结合即可得【中】5、(2016河南中原名校联考)已知直线与圆:相切且与抛物线交于不同的两点,则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为直线与圆相切,所以,把直线的方程代入抛物线的方程,并整理得:,由,解得【中】6、(2015河南焦作二模)过点作直线,使它与抛物线仅有一个公共点,这样的直线有( )A1条 B2条 C3条 D4条【答案】C【解析】(1)当过点的直线斜率不存在时,直线与抛物线仅有一个交点,符合题意 (2) 当过点的直线斜率存在时,设其方程为,由,得,当时,方程只有一个解,符合题意;当时,由,解得,即直线与抛物线相切,综上符合条件的直线有3条,选择C.【中】7、(2014辽宁卷)已知点在抛物线的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为( )A B C D【答案】D【解析】易知,直线的斜率存在,抛物线方程为,与直线方程联立,得,由题意知,解得. 因为直线与抛物线相切于第一象限,故舍去,故,可得,又,故,选择D.【中】8、若直线与双曲线有且只有一个公共点,求的的值【答案】或【解析】将直线与双曲线,化简整理得 (*)若,则,此时(*)为一次方程有解,说明直线与双曲线有且只有一个公共点,此时,直线与渐近线平行若则,(*)为关于的二次方程,要使直线 与双曲线有且只有一个公共点,只需,解得或,此时直线与双曲线相切因此,或【难】9、已知顶点在原点的抛物线的焦点在轴上,直线与抛物线交于,两点. 若为的中点,则抛物线的方程为 【答案】【解析】设抛物线方程为,则两式相减得,则,所以,解得,所以抛物线的方程为.【难】10、(2016河北衡水二中模拟)已知双曲线的实轴长为,虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合,直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则=( )A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】由抛物线,可知其焦点为,所以,又,因此双曲线方程为,渐近线方程为,直线与双曲线的一条渐近线平行,不妨设,由,得,则由,解得,选择A.直线与圆锥曲线相交常见问题考点说明:直线与圆锥曲线相交常见问题是常考考点类型一 弦长面积问题【易】1、(2014秋宿州期末)抛物线被直线截得弦长的值为( )A21 B16 C24 D30【答案】C【解析】设直线与抛物线两个交点,,由,得,所以弦长等于,选择C.【易】2、(2016秋南涧县期末)已知直线与椭圆相交于两点,若椭圆的离心率为,焦距为2,则线段长是( )A B C D【答案】B【解析】由题意知,所以,则,所以椭圆方程为,联立,得,解得,进而得到,所以,选择B.【易】3、直线与双曲线相交于两点、,则=_【答案】【解析】联立,消去得:,设,则,【易】4、过双曲线的右焦点直线交双曲线于、两点,若,则这样的直线有_条【答案】【解析】垂直于轴的弦所在的直线,另两条大致如图所示【易】5、(2016乐山模拟)抛物线的焦点为,经过的直线与抛物线在轴上方部分相交于点,与准线交于点,且,如果,那么的面积是( )A B C D【答案】C【解析】抛物线的焦点为,准线为,由抛物线定义可知,由直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半,可得,即有为正三角形,由到的距离,则,所以,选择C.【中】6、(2015秋石家庄期末)已知椭圆与直线交于两点,且,则实数的值为( )A B C D【答案】A【解析】由题意设,联立,得,由弦长公式可知,解得,选A.【中】7、(2015秋福山区校级期末)如图,过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点,若两点,则此抛物线方程为( )A B C D【答案】A【解析】过点向准线作垂线,垂足分别为,过点向作垂线,垂足为.因为在抛物线上,所以,因为,所以,因为直线的倾斜角为,所以在中,所以可得,因为,所以,所以,设直线的方程为,代入抛物线方程,得,所以,所以,解得,所以抛物线的方程为,选择A.【中】8、(2016沈阳二中模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点,与椭圆交于两点,则弦长 【答案】【解析】由题意知,椭圆的右焦点,直线的方程为由,得,设,则,由弦长公式可得【难】9、(2017大武口区校级四模)已知椭圆,离心率为,两焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,且的周长为8(1)求椭圆的方程;(2)过点作圆的切线交椭圆于两点,求弦长的最大值【答案】(1); (2)【解析】(1)由题意:,所以,所以,所以椭圆的方程为.(2)由题意知,. 当时,切线的方程,此时,;当时,同理;当时,设切线方程为,由消去,可得,设,则,又由与圆相切,得,即,得,所以,因为,所以,且当,由于时,所以的最大值为.【难】10、(2017浠水县校级模拟)已知椭圆的短轴长为2,离心率为,直线过点交椭圆于两点,为坐标原点(1)求椭圆的方程;(2)求面积的最大值.【答案】(1); (2)【解析】(1)由题意:,易知,所以椭圆的方程为(2)由题意设切线的方程,联立直线与椭圆的方程,消去,可得,设,则,设,则,因为,所以,所以当时,的面积取得最大值,此时.类型二 垂直平分问题考点说明:垂直平分是常考考点【易】1、(2016江西模拟)已知直线与抛物线交于两点,点,若,则=( )A B C D 【答案】B【解析】由题意联立,得,得到,由于,若,可得,化简,解得,选择B.【中】2、(2016河南模拟)已知直线与抛物线交于两点,点满足,则=( )A B C D 【答案】D【解析】由题意可得焦点,直线过抛物线的焦点,代入抛物线方程,得到,设,则,由于,可得:,所以整理得,解得,所以,所以,选择D.【中】3、(2016春福州其中)如果椭圆的弦被点平分,那么这条弦所在的直线方程是( )A B C D 【答案】B【解析】设直线与椭圆交,由中点坐标公式知,把,代入椭圆方程,得两式相减并整理得:,所以,所以这条弦所在的直线方程为,即,选择B.【中】4、(2016秋西陵区校级期末)已知直线与双曲线线交于两点,若线段中点为,则直线的斜率为( )A B C D【答案】C【解析】设,因为在双曲线上,所以,两式相
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