高三数学 一轮复习 第 1页 演练方阵 第 10 讲不等式 不等式的解法 类型一类型一 一元二次不等式一元二次不等式 考点说明 题型多样 难度中等 属于常考点和必考点 易 1 解下列不等式 1 x2 5x 6 0 2 x2 7x 6 3 2 x x 3 x 4 x 答案 见解析 解析 1 方程 x2 5x 6 0 的两根为 x1 1 x2 6 结合二次函数 y x2 5x 6 的图象 知 原不等式的解集为 x x6 2 原不等式可化为 x2 7x 6 0 解方程 x2 7x 6 0 得 x1 1 x2 6 结合二次函数 y x2 7x 6 的图象知 原不等式的解集为 x 1 x0 方程 x 2 x 3 0 两根为 2 和 3 结合二次函数 y x 2 x 3 的图象知 原不等式的解集为 x x2 4 由原不等式得 8x2 8x 4 4x x2 原不等式等价于 9x2 12x 4 0 解方程 9x2 12x 4 0 得 x1 x2 2 3 结合二次函数 y 9x 2 12x 4 的图象知 原不等式的解集为 x x 2 3 易 2 2015 春 房山区校级期中 不等式 x 2 x 3 0 的解集为 A x x 2 或 x 3 B x 2 x 3 C x x 3 或 x 2 D x 3 x 2 答案 C 解析 由不等式 x 2 x 3 0 可得 x 3 或 x 2 故不等式的解集为 x x 3 或 x 2 故选 C 易 3 2014 海淀区校级模拟 不等式 x 6 x2的解集是 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 答案 D 高三数学 一轮复习 第 2页 解析 不等式 x 6 x2即为 x2 x 6 0 即 x 3 x 2 0 解得 x 3 或 x 2 所以不等式 x 6 x2的解集是 3 2 故选 D 中 4 2014 春 西城区期末 不等式 x x 2 3 的解集是 A x 3 x 1 B x 1 x 3 C x x 3 或 x 1 D x x 1 或 x 3 答案 A 解析 x x 2 3 可化为 x x 2 3 0 方程 x x 2 3 0 的根为 3 1 又函数 y x x 2 3 的图象开口向上 不等式 x x 2 3 的解集是 x 3 x 1 故选 A 中 5 2017 春 东城区期末 不等式 2x2 x 0 的解集为 答案 x 0 x 2 1 解析 不等式 2x2 x 0 化为 x 2x 1 0 且不等式对应方程的两个实数根为 x 0 或 x 2 1 所以该不等式的解集为 x 0 x 2 1 故答案为 x 0 x 2 1 中 6 2014 海淀区二模 满足不等式 x2 x 0 的 x 的取值范围是 答案 0 1 解析 不等式 x2 x 0 可化为 x x 1 0 解得 0 x 1 x 的取值范围是 0 1 故答案为 0 1 中 7 2014 海淀区校级模拟 求下列不等式的解集 1 6x2 x 1 0 2 x2 4x 5 0 答案 1 6x2 x 1 0 化为 3x 1 2x 1 0 不等式 6x2 x 1 0 的解集为 x 3 1 x或 x 2 1 2 x2 4x 5 0 可化为 x2 4x 5 0 即 x 2 2 1 0 即对 x R 不等式 x2 4x 5 0 恒成立 不等式 x2 4x 5 0 的解集为 R 解析 1 因式分解利用一元二次不等式的解法即可 2 x2 4x 5 0 可化为 x2 4x 5 0 即 x 2 2 1 0 即可得出 高三数学 一轮复习 第 3页 类型类型二二 含参含参一元二次不等式一元二次不等式 考点说明 含参一元二次不等式难度较大 需要掌握不同情况下的讨论方法 易 1 2014 春 海淀区校级月考 已知关于 x 的不等式 0 2 3 1 axax 1 当 a 1 时 解这个不等式 2 当 a R 时 解这个不等式 答案 1 关于 x 的不等式 0 2 3 1 axax 当 a 1 时 不等式化为 x 1 x 2 1 0 解得 x 1 或 x 2 1 不等式的解集为 2 1 1 2 当 a 0 时 不等式化为 x 2 3 0 解得 x 2 3 当 a 0 时 不等式化为 x a 1 x a 2 3 0 若 0 a 2 则 a 1 a 2 3 解不等式得 x a 1 或 x a 2 3 若 a 2 则 a 1 a 2 3 解不等式得 x 2 1 若 a 2 则 a 1 a 2 3 解不等式得 x 2 3 当 a 0 时 不等式化为 x a 1 x a 2 3 0 若 2 1 a 0 则 a 1 a 2 3 解不等式得 a 1 x a 2 3 若 a 2 1 则 a 1 a 2 3 解不等式得 x 若 a 2 1 则 a 1 a 2 3 解不等式得 a 2 3 x a 1 综上 a 0 时 不等式的解集为 x x 2 3 0 a 2 时 不等式的解集为 x x a 1 或 x a 2 3 a 2 时 不等式的解集为 x x 2 1 a 2 时 不等式的解集为 x x 2 3 高三数学 一轮复习 第 4页 2 1 a 0 时 不等式的解集为 x a 1 x a 2 3 a 2 1 时 不等式的解集为 a 2 1 时 不等式的解集为 x x 2 3 解析 1 a 1 时 不等式化为 x 1 x 2 1 0 求解集即可 2 讨论 a 0 和 a 0 以及 a 0 时 求不等式的解集即可 易 2 2012 秋 门头沟区校级期中 解关于 x 的不等式 x2 2ax 3a2 0 答案 见解析 解析 不等式分解因式得 x 3a x a 0 当 a 0 时 不等式解集为空集 当 a 0 时 3a a 此时不等式解集为 a x 3a 当 a 0 时 3a a 此时不等式的解集为 3a x a 易 3 2012 春 北京校级期中 已知 a R 解关于 x 的不等式 ax 1 x 2 0 答案 1 当 a 0 时 不等式的解为 x 2 2 当 a 0 时 将原不等式分解因式 得 a x a 1 x 2 0 当 a 0 时 原不等式等价于 x a 1 x 2 0 j 不等式的解为 a 1 x 2 当 2 1 a 0 时 2 a 1 不等式的解为 x 2 或 x a 1 当 a 2 1 时 a 1 2 不等式的解为 x a 1 或 x 2 当 a 2 1 时 不等式的解为 x 2 综上 当 a 0 时 不等式的解集为 2 当 a 0 时 不等式的解集为 a 1 2 当 2 1 a 0 时 不等式的解集为 2 a 1 当 a 2 1 时 不等式的解集为 a 1 2 当 a 2 1 时 不等式的解集为 x x 2 解析 讨论 a 的大小 然后讨论两根的大小 从而求出不等式的解集 高三数学 一轮复习 第 5页 中 4 2011 春 朝阳区校级期末 解关于 x 的不等式 a R 1 x2 ax 1 0 2 ax2 x 1 0 答案 1 由题意得 a2 4 当 0 时即 a 2 或 a 2 时 不等式的解集为 x 2 4 2 4 22 aa x aa x或 当 0 时即 2 a 2 时 不等式的解集为空集 综上所述当 a 2 或 a 2 时 不等式的解集为 x 2 4 2 4 22 aa x aa x或 当 2 a 2 时 不等式的解集为空集 2 当 a 0 时原不等式为 x 1 0 所以不等式的解集为 x x 1 当 a 0 时 1 4a 1 1 4a 0 时即 0 a 4 1 时原不等式的解集为 x a a x a a x 2 411 2 411 或 2 1 4a 0 时即 a 4 1 时原不等式的解集为空集 当 a 0 时 1 4a 1 1 4a 0 时即 a 0 时原不等式的解集为 x a a x a a 2 411 2 411 2 1 4a 0 时即 a 4 1 时此时 a 不存在 综上所述当 a 0 时 不等式的解集为 x x 1 当 0 a 4 1 时原不等式的解集为 x a a x a a x 2 411 2 411 或 当 a 4 1 时原不等式的解集为空集 当 a 0 时原不等式的解集为 x a a x a a 2 411 2 411 解析 1 计算出 判断其与 0 的大小 以此来讨论不等式对应的方程是否有解 进而求 出不等式的解集 2 由于二次项含有参数因此先讨论二次项的系数与 0 的大小关系 再分别讨论 与 0 的 高三数学 一轮复习 第 6页 大小关系 通过方程的解求出不等式的解集即可 中 5 2011 秋 房山区校级月考 解关于 x 的不等式 x2 a2 a x a3 0 a 为参数 答案 x2 a2 a x a3 0 因式分解得 x a x a2 0 若 a a2 则 a2 a 0 即 0 a 1 时 原不等式可化为 0 0 2 ax ax 或 0 0 2 ax ax 解得 x a 或 x a2 此时原不等式的解集为 x x a2或 x a 若 a a2 即 a 0 或 a 1 时 原不等式可化为 0 0 2 ax ax 或 0 0 2 ax ax 解得 x a 或 x a2 此时原不等式的解集为 x x a 或 x a2 若 a a2 即 a 0 或 a 1 时 当 a 0 时 不等式为 x2 0 即 x 0 当 a 1 时 不等式为 x2 2x 1 x 1 2 0 即 x 1 x 0 且 x 1 此时原不等式的解集为 x R x 0 且 x 1 则当 0 a 1 时 原不等式的解集为 x x a2或 x a 当 a 0 或 a 1 时 原不等式的解集 为 x x a 或 x a2 解析 将不等式左边的多项式分解因式 然后根据 a 与 a2的大小分三种情况考虑 当 a 大于 a2时 列出关于 a 的不等式 求出不等式的解集得到此时 a 的范围 根据两数相乘积 为正 得到两因式同号 根据不等式组取解集的方法即可求出此时原不等式的解集 当 a 小于 a2时 列出关于 a 的不等式 求出不等式的解集得到此时 a 的范围 根据两数相乘积 为正 得到两因式同号 根据不等式组取解集的方法即可求出此时原不等式的解集 当 a 等于 a2时 求出此时 a 的值 将原不等式化简后 得到 x 不等于 0 且 x 不等于 1 综上所述 当 0 a 1 时原不等式的解集为 x x a2或 x a 当 a 0 或 a 1 时 原不等式的解集为 x x a 或 x a2 中 6 2009 秋 西城区校级期末 解关于 x 的不等式 x2 a 2 x 2a 0 答案 x2 a 2 x 2a 0 x a x 2 0 1 当 a 2 时 2 x a 2 当 a 2 时 不等式无解 3 当 a 2 时 a x 2 综上所述 当 a 2 时 不等式的解集 2 a 当 a 2 时 不等式解集 当 a 2 时 不等式解集 a 2 解析 先把原不等式转化为 x a x 2 0 然后再分 a 和 2 的三种大小关系来得到不 等式的解集即可 高三数学 一轮复习 第 7页 中 7 2010 春 昌平区期末 当 a 0 时解关于 x 的不等式 ax2 a 2 x 2 0 答案 原不等式可化为 ax 2 x 1 0 1 当 a 0 时 x 1 2 当 a 0 时 不等式化为 x a 2 x 1 0 若 a 2 1 即 a 2 则 a 2 x 1 若 a 2 1 即 a 2 则 x 若 a 2 1 即 0 a 2 则 1 x a 2 综上所述 原不等式的 解集为当 a 0 时 x x 1 当 0 a 2 时 x 1 x a 2 当 a 2 时 x 当 a 2 时 x a 2 x 1 解析 原不等式可化为 ax 2 x 1 0 分 a 0 a 0 两种情况进行讨论 a 0 时 易解 a 0 时 按两根大小再进行讨论可得解集 类型类型三 一元二次不等式与一元二次方程三 一元二次不等式与一元二次方程 考点说明 含参一元二次不等式难度较大 需要掌握不同情况下的讨论方法 易 1 2013 西城区校级模拟 若不等式 ax2 bx 2 0