大 学 物 理 学(上册)习题解答师大学物理学与信息技术学院基础物理教学组2006-6-26第2章 运动学21 一质点作直线运动，其运动方程为 , x以m计，t以s计。试求：（1）质点从t = 0到t = 3 s时间的位移；（2）质点在t = 0到t = 3 s时间所通过的路程解 （1）t = 0时，x0 = 2 ；t =3时，x3 = 1；所以， （2）本题需注意在题设时间运动方向发生了变化。对x求极值，并令 可得t = 1s ,即质点在t = 0到t = 1s沿x正向运动，然后反向运动。分段计算 ， 路程为 22 已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为。试求：（1）质点在最初4s位移；（2）质点在最初4s时间所通过的路程解 （1）t = 0时，x0 = 2 ；t = 4时，x4 = 30所以，质点在最初4s位移的大小 （2）由 可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为 t1 = 2 s , t2 = 0 (舍去)则 ，所以，质点在最初4 s时间间隔的路程为 23 在星际空间飞行的一枚火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动方程可表示为 ，其中是喷出气流相对于火箭体的喷射速度， 是与燃烧速率成正比的一个常量。试求：（1）t = 0时刻，此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s时，此火箭的速度和加速度解 ；（1）t = 0时， v = 0 ，（2）t = 120s时， vxlv0h24 如图所示，湖中有一只小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，t = 0时，船与滑轮间的绳长为l0 。试求：当人以匀速v0拉绳时，船在距岸边x处的速度和加速度。解 （1） 设任意时刻 t ，绳长为l，由题意；船到岸边的水平距离为x ，则 小船的运动速度为 负号表示小船在水面上向岸靠近。小船的运动速度为 负号表示加速度的方向指向岸边，小船在水面上加速靠岸。25 一升降机以加速度上升，当上升速度为时，有一螺丝从升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74 m 。计算：（1）螺丝从升降机的天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 .解 （1）以地面为参考系，取Oy坐标轴向上 ，升降机的运动方程为 螺丝的运动方程为 当螺丝落至底面时，有 y1 = y2 ,即 所以 (2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 26 已知一质点的运动方程为 (SI)。试求：（1）质点的运动轨迹；（2）t = 1s和t = 2 s时刻，质点的位置矢量；（3）1s末和2 s末质点的速度；（4）质点的加速度。解 （1）质点在x 、y方向运动方程的分量形式为 x = 2t ， y = 2t 2消去时间t , 可得 其运动轨迹为一抛物线（2）时 ；时 （3）质点运动的速度 v 时 v1即 ，（q1为v1与x 轴的夹角） 时 v2即 ，（q2为v2与x 轴的夹角）（4）质点运动的加速度 27 一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为 试求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点的速度、加速度。解 （1） 质点运动方程的分量式为，消去时间参数t，可得运动的轨迹方程 （2）速度 v加速度 28 一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为试求质点在5s时的速度和加速度 。解 速度 v加速度 t = 5 s时的速度为 加速度 29 一质点从坐标原点开始沿抛物线 y = 0.5 x2 运动，它在Ox轴上分速度为一恒量，试求：（1）质点的运动方程；（2）质点位于x = 2 m处的速度和加速度 。解 （1）因为常数，故ax = 0 。当t = 0时，x = 0 ，可得质点在x方向的运动方程为 又由质点的抛物线方程，有 所以 （2）任意时刻 ； 由和x = 2，可得 t = 0.5 s所以，当质点位于x = 2.0 m时，其速度 ，加速度 210 一汽艇以速率沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度，其中k为常数。试求发动机关闭后，（1）任意时刻t汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。解 本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。（1）由 ， 得 （2）因为 ， 所以 发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 211 一物体沿x轴作直线运动，其加速度为，k是常数。在t = 0时，。试求（1）速率随坐标变化的规律；（2）坐标和速率随时间变化的规律。解 本题注意变量变换。（1）因为 ； 所以 （2）因为 ， 可得 又因为 ， 所以 212 一质点沿 x 轴作直线运动，其速度大小，（SI制）。质点的初始位置在 x 轴正方向10 m处，试求：（1）时，质点的加速度；（2）质点的运动方程；（3）第二秒的平均速度。解 根据题意可知，时， ，（1）质点的加速度 时， （2） 由 两边积分 因此，质点的运动方程为 （3）第二秒的平均速度为 213 质点作圆周运动，轨道半径r = 0.2 m，以角量表示的运动方程为 （SI）。试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s 末的切向加速度和法向加速度的大小。解 （1）因为 故 ， 以t = 3s代入， ，（2） ， 214 一质点在半径为r = 0.10m的圆周上运动，其角位置为。（1）在 t = 2.0s时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（2）t为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？解 (1)由于，则 ，法向加速度 切向加速度 t = 2.0s时， （2）要使,则有 所以 t = 0.55 s215 一汽车发动机曲轴的转速，在12 s由20 r/s均匀地增加到45 r/s 。试求：（1）发动机曲轴转动的角加速度；（2）在这段时间，曲轴转过的圈数。解 （1）由于角速度（n为单位时间的转数），根据角加速度的定义，在匀速转动中角加速度为 （2）发动机曲轴转过的角度为 在12 s曲轴转过的圈数为 圈216 某种电机启动后转速随时间变化的关系为，式中。求：（1) t = 6 s时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动后6 s转过的圈数。解 (1)根据题意，将t = 6 s代入，即得 （2）角加速度随时间变化的规律为 （3）t = 6 s时转过的角度为 则t = 6 s时电动机转过的圈数 圈217 半径为r = 0.50m的飞轮在启动时的短时间，其角速度与时间的平方成正比，在t = 2 s时，测得轮缘上一点的速度值为。求：（1）该轮在t = 0.5s的角速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2s所转过的角度。解 由题意 ，因R = v ,可得比例系数 所以 (1) 则t= 0.5s时，角速度为 角加速度 切向加速度 总加速度 (2) 在2 s该点所转过的角度 218 一质点在水平面以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运动。已知质点的角速度与时间的平方成正比，即（SI制）。式中k为常数。已知质点在第2 s末的速度为32 m /s 。试求t = 0.5 s时质点的速度和加速度。解 首先确定常数k 。已知t = 2 s时，v = 32 m/s , 则有 故 ，当t 0.5 s ， ， ，219 由山顶上以初速度v0水平抛出一小球，若取山顶为坐标原点，沿v0方向为x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t 时刻，小球的切向加速度和法向加速度。解 （1）小球在x轴作匀速直线运动 ， y轴上作自由落体 上述两方程联立消t，可得小球的轨迹方程 （2） ， t时刻，小球的速率 t时刻，小球的切向加速度 因为 ，所以，法向加速度 220 已知声音在空气中传播的速率为344 m/s 。当正西方向的风速为30 m/s时，声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大？ 解 ， 向东传播的声音的速率 向西传播的声音的速率 向北传播的声音的速率 221 一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处。 已知A、B间的距离为l，空气相对地面的速率为u，飞机相对空气的速率v 保持不变。试证：（1）假定空气是静止的（即u0），飞机往返飞行时间为；（2）假定空气的速度方向向东，飞机往返飞行时间为；（3）假定空气的速度方向向北，飞机往返飞行的时间为。试证：由速度关系 v = u + v （1）u0时，飞机往返飞行时间为 （2）空气相对地面的速度为u向东，从A B 所需时间为从B A 所需时间为所以，飞机往返飞行时间为 （3）空气相对地面的速度为u向北，如图221所示，vvu( a )Avvu( b )B习题 221从A B，飞机相对地面的速度为；从B A飞机相对地面的速度的大小与从A B等值，但方向相反。所以，飞机往返飞行的时间为第3章 牛顿定律及其在随机性3-1 一木块能在与水平面成q 角的斜面上匀速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为 v02/（4gsin）。上滑fmgN下滑fmgN解 选定木块为研究对象，取沿斜面向上为x轴正向， 下滑 （1）上滑 （2）由式（2）知，加速度为一常量，有 （3）解上述方程组，可得木块能上滑的距离 3-2 在一水平直路上，一辆车速的汽车的刹车距离为s = 35 m 。如果路面相同，只是有1:10的下降斜度，这辆汽车的刹