湖北省荆门市2020高三数学元月调考试题 理注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。1已知集合，则A. B C. D2设是虚数单位，则等于A B C D3下列各式中错误的是A B. C. D. 4设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为A B C D5已知函数（，）的部分图象如图所示，则A B C D6已知则A B C D7太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是A B C D8某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A36种 B42种 C48种 D54种9灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A甲 B乙 C丙 D丁10函数的大致图象为11已知二面角为动点P、Q分别在a、b内，P到b的距离为,Q到a的距离为, 则PQ两点之间距离的最小值为A. B C D12设函数，若存在实数，使得集合中恰好有7个元素，则的取值范围是A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为 .7816651408026314070243699728019832049234493582003623486969387481781665140802631407024369972801983204923449358200362348696938748114已知向量满足且，则的夹角为 .15对任意不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是 .16. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，,则三棱锥体积的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知在等比数列中，且，成等差数列（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面，.（）求证：；（）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图，（）用该样本估计总体：（1）估计该市居民月均用水量的平均数；（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？（）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过2.5吨的人数为X，求X的分布列和均值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切（）求椭圆E的标准方程；（）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由21.（本小题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.（）求实数的取值范围；（）若有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为:（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:（）求直线与曲线公共点的极坐标；（）设过点的直线交曲线于，两点，求的值23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】设不等式的解集是，（）试比较与的大小；（）设表示数集中的最大数，求的最小值荆门市2020年高三年级元月调考试卷数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题：每小题5分，共60分.1-5 DBDBC 6-10 DCBAC 11-12 AB12.的极大值或极小值，一定在直线上，又在集合中当时，得，故选B二、填空题：每小题5分，共20分 13. 43 14. 15. 16. 三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为，成等差数列，3分 6分（2），8分 10分 12分18.解：（）证明：在中，所以, 所以 2分因为平面平面,平面平面,所以平面 4分又因为平面，所以 6分（）因为平面，平面，所以又,平面平面,所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即8分因为,所以平面所以是直线与平面所成的角10分因为在中，所以在中， 12分 （）另解：因为平面，平面，所以又,平面平面,所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即8分即为等腰，过E作则O为BC中点，取AB中点F，连接OF则如图建系则设平面EAC的一个法向量为,由10分又,直线AB与平面ACE所成的角为则12分19解：（）(1)月均用水量3分（2）由直方图易知：故月均用水量a的最低标准定为2.7吨6分（）依题意可知，居民月均用水量不超过2.5吨的概率是，则 10分 0123X0123P故X的分布列为: 12分20.解：（）由题意知， 2分 解得 则椭圆C的方程是： 4分（）当AB斜率不存在时， 5分设由设则7分9分原点O到AB的距离11分故综上：的面积为定值 .12分21.解：（）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，令,1分故在处的切线方程为： 3分代入点有：由图象可得： 5分解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点 1分，故时，时， 3分又由图象可得：5分解法3：1分最多只有一个实根，不合题意； 2分故故 5分（）由（）知： 6分 8分故，不合题意；10分，即 12分22.（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为，2分联立方程，解得或， 4分所以，直线与曲线公共点的极坐标为，5分（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入，整理得7分设对应的参数分别为则 10分另解：设为的一条切线，由切割线定理：23. 由得，解得， 2分（1）由，得，故 5分（2）由，得， 7分，故 9分当且仅当 10分 - 14 -