浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2020学年高二数学下学期期中试题 本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟 选择题部分（共50分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1若复数是纯虚数(是虚数单位)，则实数等于 ()A. B. C.2 D. 32双曲线的渐近线方程为是 ()A B C D3. 某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 () A当时该命题不成立B当时该命题成立C当时该命题不成立D当时该命题成立4. 经过点且与椭圆相切的直线方程是 ()A B C D5方程所表示的曲线是 ( )A焦点在轴上的椭圆 B焦点在轴上的椭圆 C焦点在轴上的双曲线 D焦点在轴上的双曲线6设函数f（x）=+lnx , 则 ( )Ax=为f(x)的极大值点 Bx=为f(x)的极小值点Cx=2为f(x)的极大值点 Dx=2为f(x)的极小值点7设抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于 ( )A4 B6 C6 D128. 有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是( ) A. 960 B. 720 C. 480 D. 2409已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是 ()A B C D10从集合中任取三个不同的元素作为直线中的值，若直线倾斜角小于，且在轴上的截距小于，那么不同的直线条数有( ) A. 109条 B. 110条 C. 111条 D. 120条 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11计算: ; = . (用数字作答) 12. 与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是 , 其离心率是 . 13. 函数的增区间是 , 曲线在点处的切线方程是 . 14.用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字, 可以组成 个无重复数字的三位数, 也可以组成 个能被5整除且无重复数字的五位数. 15.已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是 . 16.双曲线与直线交于两点, 且线段中点为,为坐标原点, 则直线的斜率是 17. 已知P是椭圆和双曲线的一个共公点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最大值是 . 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。18. 已知函数.(I) 求的减区间;(II)当时, 求的值域. 19. 已知椭圆经过两点, .(I)求椭圆E的方程；(II)若直线交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求AOB的面积S20. 已知函数（e为自然对数的底数）（I）求的最小值；（II）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21.已知点是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限内的点，且，(I) 求点的坐标；(II)以为圆心的动圆与轴分别交于两点，延长分别交抛物线于两点；求直线的斜率；延长交轴于点，若，求的值.22. 已知函数. (I) 求极大值；(II) 求证：，其中, (III)若方程有两个不同的零点, 求证: 浙北G2期中（高二数学）联考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678910CAAACDCABA二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。把答案填在题中的横线上。11 20, 35 12. , 213. , 14. 100, 21615. 16. 17. 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。18. (本题14分)已知函数.(I) 求的减区间;(II)当时, 求的值域.解: (I) 由函数, 求导 当, 解得即的减区间 (II) 当, 解得即在上递减, 在上递增 故的值域 19. (本题15分)解：(1)由题意得: , 解得: 即轨迹E的方程为y21. (2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，故可设AB的方程为xy1.由消去x得5y22y30， 所以 设直线与轴交于点S|OP|y1y2| S. 20. (本题15分) 解析：（1）的导函数，令，解得；令，解得.从而在内单调递减，在内单调递增.所以，当时，取得最小值1. （2）因为不等式的解集为，且，所以对于任意，不等式恒成立.将变形为.令，则的导函数， 令，解得；令，解得.从而在内单调递减，在内单调递增.所以，当时，取得最小值，从而实数的取值范围是. 21. (本题15分)（I）设（），由已知得，则，点的坐标是. （II）设直线的方程为（），由，消去得， ， 由已知，直线的斜率为，. 设，即，则，. 直线的方程为，则，同理，. 22. (本题15分)解：（）, 解得递增极大值递减极大值是(II) 法一：，由（）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，则，即，当且仅当时取“=”， 故当时， 因此 法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立（1）当时，左边，右边，左边右边，结论成立；（2）假设当时，结论成立，即，当时，左边，而 ，由（）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，则，即，当且仅当时取“=”， 则对恒成立，即成立故当时，结论成立，因此，综合（1）（2）得，对恒成立（I） 由（）知方程有两个不同的零点,则分析法: 要证 令函数, 由得在上递增, 即成立, 由上知成立.