连续系统的振动 2020年5月6日 振动力学 2 教学内容 多自由度系统的振动 2020年5月6日 振动力学 3 连续系统的振动 4 3薄板的振动在工程结构中 除梁 柱基本构件外 还经常会遇到一种板的基本构件 在本节中将简单介绍薄板的振动问题 薄板是指其厚度要比长 宽这两方面的尺寸小得多板 薄板在上下表面之间存在着一对称平面 此平面称为中面 且假定 1 板的材料由各向同性弹性材料组成 2 振动时薄板的挠度要比它的厚度要小 3 自由面上的应力为零 4 原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交 即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线 2020年5月6日 4 连续系统的振动 4 3 1矩形薄板的横向振动1 振动微分方程为了建立应力 应变和位移之间的关系 现取一空间直角坐标系Oxyz 且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上 如图4 27所示 设板上任意一点a的位置 将由变形前的坐标x y z来确定 2020年5月6日 5 连续系统的振动 根据假定 2 板的横向变形和面内变形u v是相互独立的 为此 其弯曲变形可由中面上各点的横向位移w x y t 所决定 根据假定 3 可认为处处为零 根据假定 4 剪切应变分量不难看出 板上任意一点a x y z 沿x y z三个方向的位移分量u v w分别为 2020年5月6日 振动力学 6 连续系统的振动 根据弹性力学中应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为 2020年5月6日 振动力学 7 连续系统的振动 再根据胡克定律 从而获得相对应的三个主要应力分量为 现画薄板微元的受力图如图4 28所示 2020年5月6日 振动力学 8 连续系统的振动 图4 28中Mx Mxy和Qx My Myx和Qy分别为OB面 OC面上所受到的单位长度的弯矩 扭矩和横切剪力 弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示 Mx My是由正应力 x x引起的合力矩 扭矩是由剪切力 xy引起的合力矩 p x y t P x y f t 为具有变量分离形式的外载荷集度 沿z轴方向 应用动静法计算时 沿z轴负方向有一虚加惯性力 则有 2020年5月6日 振动力学 9 连续系统的振动 整理后 可得 2020年5月6日 振动力学 10 连续系统的振动 整理后 可得 2020年5月6日 振动力学 11 连续系统的振动 整理后 可得将式 4 92 式 4 93 代入式 4 91 得因 2020年5月6日 振动力学 12 连续系统的振动 将式 4 90 代入式 4 95 积分后得再将式 4 96 代入式 4 94 即可得到薄板微元的运动微分方程为 2020年5月6日 振动力学 13 连续系统的振动 这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程 2 矩形板横向振动微分方程的解矩形板的横向自由振动的微分方程为此方称同样可应用分离法来求解 设解为 2020年5月6日 振动力学 14 连续系统的振动 将式 4 99 代入式 4 98 可得式中再根据板的边界条件来求解固有频率 注意到对于一般边界条件来说精确解是难于找到的 为了寻求一个封闭解 现考察在什么条件下 式 4 100 可用分离变量法来求解 2020年5月6日 振动力学 15 连续系统的振动 令将上式代入式 4 100 中 可得 4 102 上式可改写为 2020年5月6日 振动力学 16 连续系统的振动 现讨论式 4 103a 中 首先要满足边界条件 设根据上两式 有则 4 4 故有 2020年5月6日 振动力学 17 连续系统的振动 将上两式代入式 4 103a 中 可写为即有于是变量得到了分离 要满足式 4 105 的三角函数为 2020年5月6日 振动力学 18 连续系统的振动 类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为现设x方向板的长度为a y方向板的长度为b 且当x 0和x a边为简支 则满足此边界的条件 m 故式 4 107 可写为 2020年5月6日 振动力学 19 连续系统的振动 令代入式 4 100 有即为上式的解为 4 110 2020年5月6日 振动力学 20 连续系统的振动 式中再由y 0及y b的边界条件 由式 4 110 可求得Cim i 1 2 34 的齐次方程组 再令其系数行列式为零 可得到固有频率方程式 从而求出固有频率 2020年5月6日 振动力学 21 连续系统的振动 例4 6 求解四边简支矩形薄板的自由振动 解 本题边界条件为设则满足边界条件 将上式代入方程 4 100 得 2020年5月6日 振动力学 22 连续系统的振动 将上式两边乘以 并对整个面积进行积分 并考虑 则得固有频率为因此可得 四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为 2020年5月6日 振动力学 23 连续系统的振动 2020年5月6日 振动力学 24