第2讲 空间几何体的表面积和体积随堂演练巩固1.一个四面体的所有棱长都为四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A.3B.4C.D.6 【答案】 A 【解析】正四面体外接球半径等于正四面体高的正四面体内切球半径等于正四面体高的. . .球的表面积为3. 2.已知一圆锥的母线长为4,若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于( ) A.B. 或C. D. 【答案】 B 【解析】假设圆锥的轴截面为锐角三角形,且在过顶点截面的三角形中面积最大,则其中r为圆锥底面半径,l为母线长),解得r=2或 所以侧面展开图扇形圆心角=或. 3.正方体内切球和外接球半径的比为( ) A.1B.1C.D.12 【答案】B【解析】过正方体的中截面作与内切球的截面图如图甲,设正方体棱长为a,则有2r=a(r为内切球半径). 过正方体的对角面作与外接球的截面如图乙,则有2R=为外接球半径), ,得rR=1. 4.将圆心角为面积为3的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于 . 【答案】4 【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则 , r=3,l=2. 圆锥的母线长为3,底面半径为1. 故圆锥的表面积为S=. 5.三棱柱ABC中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面将三棱柱分成体积为、的两部分,那么 . 【答案】75或57 【解析】如图,设该三棱柱高为h,底面面积为S, 由题意知EF . . 又. 5. 课后作业夯基基础巩固1.正三棱锥的底面边长为6,高为则这个三棱锥的全面积为( ) A.B. C.D. 【答案】C 【解析】因为底面边长a=6,高 所以底面高 则侧面高. 所以. 2.下面不是正方体表面展开图的是( ) 【答案】C 【解析】根据正方体的结构特征可知,C不是正方体的表面展开图. 3.圆柱的侧面展开图是一个边长为6和4的矩形,则圆柱的全面积为( ) A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径为r,母线为l,则 或 或 圆柱的全面积为24或24, 即8(3+1)或6(4+3). 4.如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的体积为( ) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】球心即为正六边形ABCDEF的中心,故正六边形的边长即为半径2,正六边形的面积. 又正六棱锥的高h为2, 所以体积. 5.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为13,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A.1B.19 C.1D.1 【答案】D 【解析】利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方,而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方处理. 6.正棱锥的高缩小为原来的底面外接圆半径扩大为原来的3倍,则它的体积是原来体积的( ) A.B.C.D. 【答案】B 【解析】设原棱锥高为h,底面面积为S,则新棱锥的高为底面面积为9S. V. 7.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为( ) A.B.C.D. 【答案】 D 【解析】设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E,沿AC折起后,依题意得:当BD=a时 平面ABC. 三棱锥D-ABC的高为. . 8.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. B.3 C. D. 【答案】D 【解析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,所以其体积为V=(cm. 9.如图,已知正三棱柱ABC-的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 cm. 【答案】13 【解析】根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为 cm. 10.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式为 . 【答案】 【解析】如图. 在RtEOF中, EF=5 cm cm, . 于是 依题意函数的定义域为x|0x10. 11.以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形,求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比. 【解】设圆锥底面半径为r,则母线为2r,高为. 圆柱的底面半径为r,高为 . 12.一直三棱柱高为6 cm,底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,将该棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值. 【解】如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为R, 圆柱的高即为直三棱柱的高. 在ABC中,AB=3,BC=4,AC=5, ABC为直角三角形. 根据直角三角形内切圆的性质可得7-2R=5, R=1. 而三棱柱的体积为 削去部分的体积为36-6=6(6-)(cm 即削去部分的体积的最小值为6(6-) cm. 13.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m): (1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 【解】(1)直观图如图所示: (2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以为棱的长方体的体积的 在直角梯形中,作于点E, 则四边形是正方形, . 在Rt中 . 几何体的表面积 m. 几何体的体积m. 该几何体的表面积为 m体积为 m. 拓展延伸14.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱. (1)求圆锥的体积; (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大? 【解】(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r,则2解得r=3. 所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积. (2)如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形. 设圆柱的底面半径为a,则从而. 圆柱的侧面积S(x)=24. 当x=2时,S(x)有最大值6. 所以当圆柱的高为2时,圆柱有最大侧面积为6.