20202020年度高三全国卷五省优创名校联考数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集UR，集合Mx|3x213x100和Nx|x2k，kZ的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A1个B2个C3个D无穷个2A4B4C4iD4i3如图1为某省2020年14月快递业务量统计图，图2是该省2020年14月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A2020年14月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B2020年14月的业务量同比增长率均超过50，在3月最高C从两图来看，2020年14月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D从14月来看，该省在2020年快递业务收入同比增长率逐月增长4设x，y满足约束条件，则的取值范围是A（，81，）B（，101，）C8，1D10，15某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为AB644C646D6486有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是Ai6Bi7Ci8Di97在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：（ab0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为ABCD8已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）f（x）x，且当x（，0时，g（x）单调递增，则不等式f（2x1）f（x2）x3的解集为A（3，）B3，）C（，3D（，3）9函数f（x）ln|x|x2x的图象大致为ABCD10用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为ABCD11已知函数f（x）3sin（x）（0，0），对任意xR恒有，且在区间（，）上有且只有一个x1使f（x1）3，则的最大值为ABCD12设函数f（x）在定义域（0，）上是单调函数，且，ff（x）exxe若不等式f（x）f（x）ax对x（0，）恒成立，则a的取值范围是A（，e2B（，e1C（，2e3D（，2e1第卷二、填空题：本大题共4小题将答案填在答题卡中的横线上13已知单位向量a，b的夹角为60，则14已知正三棱柱ABCA1B1C1的高为6，AB4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥CA1ABD的表面积是_15在（x22x3）4的展开式中，含x6的项的系数是_16已知双曲线C：（a0，b0），圆M：若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最大值时，C的实轴长为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17设数列an的前n项和为Sn，a13，且Snnan1n2n（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足，求bn的前n项和Tn18ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（1）求B的大小；（2）若b8，ac，且ABC的面积为，求a19如图所示，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中ABCD，ADC90，ADAS2，AB1，CD3，且（1）若，证明：BECD；（2）若，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值20在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x2）2y21外切，且圆P与直线x1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）exax2，g（x）xblnx若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线相交于点（0，1）（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x0时，f（x）xg（x）（e1）x1（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为2cos232sin248，其左焦点F在直线l上（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值23选修45：不等式选讲已知函数f（x）|x2|ax2|（1）当a2时，求不等式f（x）2x1的解集；（2）若不等式f（x）x2对x（0，2）恒成立，求a的取值范围20202020年度高三全国卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1C2D3D4A5B6B7C8B9C10B11C12D1311415121617解：（1）由条件知Snnan1n2n，当n1时，a2a12；当n2时，Sn1（n1）an（n1）2（n1），得annan1（n1）an2n，整理得an1an2综上可知，数列an是首项为3、公差为2的等差数列，从而得an2n1（2）由（1）得，所以18解：（1）由得，所以，即，所以有，因为C（0，），所以sinC0，所以，即，所以又0B，所以，所以，即（2）因为，所以ac12又b2a2c22accosB（ac）23ac（ac）23664，所以ac10，把c10a代入到ac12（ac）中，得19（1）证明：因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EFSD且DF1因为AB1，ABCD，ADC90，所以四边形ABFD为矩形，所以CDBF又SA平面ABCD，ADC90，所以SACD，ADCD因为ADSAA，所以CD平面SAD所以CDSD，从而CDEF因为BFEFF，所以CD平面BEF又BE平面BEF，所以CDBE（2）解：以A为原点，的正方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），S（0，0，2），C（2，3，0），所以，设n（x，y，z）为平面SBD的法向量，则，所以，令z1，得n（1，2，1）设直线BE与平面SBD所成的角为，则20解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x2）2y21外切，所以，又动圆P与直线x1相切，所以rx1，由消去r得y28x，所以曲线C的轨迹方程为y28x（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，显然动直线l的斜率存在且非零，设l：xty2，联立方程组，消去x得y28ty160，由0得t1或t1，所以y1y28t，y1y216，且y1y2，代入式得，令（m为常数），整理得，因为式对任意t（，1）（1，）恒成立，所以，所以或，即M（2，4）或M（2，4），即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，4）满足题意21（1）解：因为f（x）ex2ax，所以f（1）e2a，切点为（1，ea），所以切线方程为y（e2a）（x1）（ea），因为该切线过点（0，1），所以a1又，g（1）1b，切点为（1，1），所以切线方程为y（1b）（x1）1，同理可得b1（2）解：由（1）知，g（x）xlnx，所以当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0，所以当x1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即g（x）ming（1）1（3）证明：由（1）知，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（e2）x1下面证明：当x0时，f（x）（e2）x1设h（x）f（x）（e2）x1，则h（x）ex2x（e2），再设k（x）h（x），则k（x）ex2，所以h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，）上单调递增又因为h（0）3e，h（1）0，0ln21，所以h（ln2）0，所以存在x0（0，1），使得h（x0）0，所以，当x（0，x0）（1，）时，h（x）0；当x（x0，1）时，h（x）0故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，）上单调递增又因为h（0）h（1）0，所以h（x）f（x）（e2）x10，当且仅当x1时取等号，所以ex（e2）x1x2由于x0，所以又由（2）知，xlnx1，当且仅当x1时取等号，所以，所以ex（e2）x1x（1lnx），即exx2x（xlnx）（e1）x1，即f（x）xg（x）（e1）x122解：（1）将代入2cos232sin248，得x23y248，即，因为c2481632，所以F的坐标为（，0），又因为F在直线l上，所以把直线l的参数方程代入x23y248，化简得t24t80，所以t1t24，t1t28，所以（2）由椭圆C的方程，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（，4sin）（），所以内接矩形的面积，当时，面积S取得最大值23解：（1）当a2时，当x2时，由x42x1，解得x5；当2x1时，由3x2x1，解得x；当x1时，由x42x1，解得x1综上可得，原不等式的解集为x|x5或x1（2）因为x（0，2），所以f（x）x2等价于|ax2|4，即等价于，所以由题设得在x（0，2）上恒成立，又由x（0