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幂函数与复合函数初步教师用讲义1、幂函数概念:一般地,形如的函数都称为幂函数,其中为常数备注:(1)所有的幂函数在都有定义,并且图像都通过点; (2)如果,则幂函数的图像通过原点,并且在区间上是增函数;(3)如果,则幂函数在区间上是减函数2、特殊幂函数的图像和性质:当分别为时,幂函数图像如下图:备注:幂函数的图像主要分以下7类:(1)当时,图像过点平行于轴,但扣去点的一条“断”直线;(2)当为正偶数时,幂函数为偶函数,图像过第一、二象限及原点;(3)当为正奇数时,幂函数为奇函数,图像过第一、三象限及原点;(4)当为负偶数时,幂函数为偶函数,图像在第一、而象限,但不过原点;(5)当为负奇数时,幂函数为奇函数,图像在第一、三象限,但不过原点;(6)当为正分数时,设(为互质的正整数)如果都为奇数,幂函数为奇函数,图像过第一、三象限及原点;如果为偶数,为奇数,则幂函数为非奇非偶函数,图像在第一象限及过原点;如果为奇数,为偶数,则幂函数为偶函数,图像过第一、二象限及原点(7)当为负分数时,设(为互质的正整数)如果都是奇数,幂函数为奇函数,图像在第一、三象限;如果为偶数,为奇数,则幂函数的图像只在第一象限;如果为奇数,为偶数,则幂函数为偶函数,图像在第一、二象限3、复合函数(外函数,内函数为)(1)复合函数求定义域:由外到内;(2)复合函数求值域:由内到外;(3)复合函数单调性:同增异减(4)求复合函数的单调区间的步骤:求定义域:求使函数有意义的自变量的取值范围;拆分:将复合函数分解成两个简单的函数:和;画图:分析内、外及复合函数的单调性,并画出函数图像;结论:根据图像得单调区间例1、 已知幂函数的图像关于轴对称,且在上是减函数,求满足的的范围考点一:幂函数的定义例一:(1)下列函数中是幂函数的是( )A(为非零常数且)BCD(2)幂函数的图像过点,则的解析式是 (3)幂函数的图像经过点,则满足的的值是 (4)实数满足,则下列不等式正确的是( )ABCD(5)已知幂函数在第一象限内的图像如图所示,且分别取,则相对应于的的值依次为 练习:(1)在下列函数中,是幂函数的有 (2)已知幂函数的图像经过点,则 (3)设幂函数的图像经过点,则函数的值域为 考点二:幂函数的图像和性质例二:(1)函数是幂函数,且当时是减函数,求实数;(2)幂函数是偶函数,且当时是减函数,求整数的值练习:已知幂函数为偶函数且在区间上是单调减函数(1) 求函数的解析式;(2) 讨论的奇偶性练习:函数在第二象限内单调递增,则的最大负整数解是 练习、(1)已知函数,且,则的取值范围是 (2)已知函数满足求的值并求出相应的的解析式;对于中得到的函数,试判断是否存在,使函数在区间上的值域为?若存在,求出;若不存在,说明理由考点三:复合函数的理解例三:(1)已知,求(2)已知函数,若,则实数 (3)已知,求和的表达式 考点四:复合函数的单调性例四:求下列函数的单调区间:(1) (2) (3)(4)例五:求下列函数的单调区间:(1);(2);(3);(4)练习:(1)已知函数的单调增区间为,求函数的单调区间(2)已知函数,求函数的单调区间例六:已知函数,且试问,是否存在实数,使得在为减函数,并且在为增函数,若有,求出相应的,若无,说明理由演练1、(1)已知函数,;其中是幂函数的是 (2)幂函数的图像经过点,则 (3)若四个幂函数在同一坐标系中的图像如图,将从小到大排列是 演练2、已知点在幂函数的图像上,点在幂函数的图像上(1)求函数的解析式;(2)判断函数的单调性并用定义证明;(3)问为何值时有演练3、已知函数是幂函数,且当时是减函数(1)求实数的值;(2)求函数的定义域,判断其奇偶性并证明演练4、(1)若是一次函数,且,则 (2)已知函数在区间是增函数,则函数的递增区间是 演练5、已知函数(为负整数)的图像经过点,设问是否存在实数使得在区间上是减函数,且在区间上是增函数?若有,求出相应的,若无,说明理由能力提升例:如果,则( )ABCDE
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