第一篇过教材 考点透析 第三章函数的图象与性质 3 5二次函数的应用 1 二次函数与一元二次方程通过分析一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况 可以得出二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点情况 反过来 已知二次函数的图象与x轴的交点情况 可以得出对应一元二次方程的根的情况 第2页 1 当 b2 4ac 0时 图象与x轴交于A x1 0 B x2 0 x1 x2 两点 其中的x1 x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根 x1 x2和的一半恰好是对称轴的横坐标 2 当 0时 图象与x轴只有一个交点 3 当 0时 图象与x轴没有交点 分为以下两种情况 如果a 0 那么图象落在x轴的上方 即无论x为何实数 都有y 0 如果a 0 那么图象落在x轴的下方 即无论x为何实数 都有y 0 第3页 2 二次函数与一元二次不等式 1 y ax2 bx c a 0 的图象在x轴 的点的横坐标都满足ax2 bx c 0 a 0 所以图象在x轴上方的点的横坐标x的取值范围就是一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 2 y ax2 bx c a 0 的图象在x轴 的点的横坐标都满足ax2 bx c 0 a 0 所以图象在x轴下方的点的横坐标x的取值范围就是一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 第4页 上方 下方 考点二二次函数的实际应用1 概述在现实的生活 生产中存在着很多有关二次函数的实际问题 我们要善于通过分析实际问题中的数量关系 尤其是两个变量之间的函数关系 建立二次函数的模型 从而用二次函数解决有关的实际问题 2 用二次函数解决实际问题的步骤 1 建立起实际问题中的二次函数关系 或根据题意写出 或用待定系数法求出 2 根据实际问题确定其自变量的取值范围 3 根据二次函数的图象和性质 研究解决实际问题并给出答案 第5页 考点三二次函数与几何图形综合在中考中 二次函数与几何图形综合问题常在压轴题中出现 即最后一题 常考查角 线段间的数量关系或最值 图形面积之间的数量关系 特殊三角形 特殊四边形的存在性等问题 在本书P174中 我们将详细讲解 练习 二次函数与几何图形综合的各种类型 第6页 命题点一二次函数与不等式 组 1 2015 泸州中考 若二次函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点 2 0 且其对称轴为直线x 1 则使函数值y 0成立的x的取值范围是 A x 4或x 2B 4 x 2C x 4或x 2D 4 x 2 第7页 D 第8页 A 第9页 4 第10页 第11页 图1 第12页 第13页 6 2019 达州中考 如图1 已知抛物线y x2 bx c过点A 1 0 B 3 0 1 求抛物线的解析式及其顶点C的坐标 2 设点D是x轴上一点 当tan CAO CDO 4时 求点D的坐标 3 如图2 抛物线与y轴交于点E 点P是该抛物线上位于第二象限的点 线段PA交BE于点M 交y轴于点N BMP和 EMN的面积分别为m n 求m n的最大值 第14页 第15页 第16页 第17页 第18页 第19页 第20页 第21页 第22页 第23页 命题点四二次函数的实际应用9 2018 绵阳中考 如图是抛物线型拱桥 当拱顶离水面2m时 水面宽4m 水面下降2m 水面宽度增加 m 第24页 第25页 第26页 第27页 第28页 12 2018 凉山中考 结合西昌市创建文明城市要求 某小区业主委员会决定把一块长80m 宽60m的矩形空地建成花园小广场 设计方案如图所示 阴影区域为绿化区 四块绿化区为全等的直角三角形 空白区域为活动区 且四周出口宽度一样 其宽度不小于36m 不大于44m 预计活动区造价为60元 m2 绿化区造价为50元 m2 设绿化区域较长直角边为xm 第29页 第30页 第31页 第32页 核心素养13 江苏连云港中考 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h m 与飞行时间t s 满足函数表达式h t2 24t 1 则下列说法中正确的是 A 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B 点火后24s火箭落于地面C 点火后10s的升空高度为139mD 火箭升空的最大高度为145m 第33页 D 14 2019 湖北襄阳中考 如图 若被击打的小球飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有的关系为h 20t 5t2 则小球从飞出到落地所用的时间为 s 第34页 4 突破点一二次函数与不等式 组 湖北咸宁中考 如图 直线y mx n与抛物线y ax2 bx c交于A 1 p B 4 q 两点 则关于x的不等式mx n ax2 bx c的解集是 第35页 思路分析 观察函数图象可知 当x 1或x 4时 直线y mx n在抛物线y ax2 bx c的上方 不等式mx n ax2 bx c的解集为x 1或x 4 解题技巧 根据两个函数图象的位置关系找出不等式的解集是解题的关键 x 1或x 4 突破点二二次函数图象与一元二次方程的关系 2019 湖北武汉中考 抛物线y ax2 bx c经过A 3 0 B 4 0 两点 则关于x的一元二次方程a x 1 2 c b bx的解是 思路分析 将关于x的一元二次方程a x 1 2 c b bx变形为a x 1 2 b x 1 c 0 把抛物线y ax2 bx c沿x轴向右平移1个单位得到y a x 1 2 b x 1 c 因为抛物线y ax2 bx c经过点A 3 0 B 4 0 所以抛物线y a x 1 2 b x 1 c与x轴的两交点坐标为 2 0 5 0 所以一元二方程a x 1 2 b x 1 c 0的解为x1 2 x2 5 解题技巧 将方程与平移后的抛物线解析式联系起来 根据平移方式确定平移后的抛物线与x轴的交点 从而得出方程的解 第36页 x1 2 x2 5 突破点三二次函数的实际应用 安徽中考 小明大学毕业回家乡创业 第一期培植盆景与花卉各50盆 售后统计 盆景的平均每盆利润是160元 花卉的平均每盆利润是19元 调研发现 盆景每增加1盆 平均每盆利润减少2元 每减少1盆 平均每盆利润增加2元 花卉的每盆利润始终不变 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆 设培植的盆景比第一期增加x盆 第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1 W2 单位 元 1 用含x的代数式分别表示W1 W2 2 当x取何值时 第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大 最大总利润是多少 第37页 思路分析 1 由于培植的盆景比第一期增加x盆 则第二期盆景有 50 x 盆 花卉有 50 x 盆 根据 利润 盆数 每盆的利润 可得函数解析式 2 将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式 配方成顶点式 利用二次函数的性质求解即可 第38页 自主解答 解 1 由于培植的盆景比第一期增加x盆 则第二期盆景有 50 x 盆 花卉有 50 x 盆 所以W1 50 x 160 2x 2x2 60 x 8000 W2 19 50 x 19x 950 第39页 1 2019 山西中考 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥 如图1 它由五个高度不同 跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥 拉索与主梁相连 最高的钢拱如图2所示 此钢拱 近似看成二次函数的图象 抛物线 在同一竖直平面内 与拱脚所在的水平面相交于A B两点 拱高为78米 即最高点O到AB的距离为78米 跨径为90米 即AB 90米 以最高点O为坐标原点 以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系 则此抛物线钢拱的函数表达式为 第40页 B 2 2019 山东临沂中考 从地面竖直向上抛出一小球 小球的高度h 单位 m 与小球运动时间t 单位 s 之间的函数关系如图所示 下列结论 小球在空中经过的路程是40m 小球抛出3s后 速度越来越快 小球抛出3s时速度为0 小球的高度h 30m时 t 1 5s 其中正确的是 A B C D 第41页 D 3 2018 北京中考 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分 运动员起跳后的竖直高度y 单位 m 与水平距离x 单位 m 近似满足函数关系y ax2 bx c a 0 右图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据 根据上述函数模型和数据 可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时 水平距离为 A 10mB 15mC 20mD 22 5m 第42页 B 第43页 24 150 x1 2 x2 4 7 2018 四川达州中考 绿水青山就是金山银山 的理念已融入人们的日常生活中 因此 越来越多的人喜欢骑自行车出行 某自行车店在销售某型号自行车时 以高出进价的50 标价 已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同 1 求该型号自行车的进价和标价分别是多少元 2 若该型号自行车的进价不变 按 1 中的标价出售 该店平均每月可售出51辆 若每辆自行车每降价20元 每月可多售出3辆 求该型号自行车降价多少元时 每月获利最大 最大利润是多少 第44页 第45页 第46页 第47页 9 2019 四川宜宾中考 已知抛物线y x2 1与y轴交于点A 与直线y kx k为任意实数 相交于B C两点 则下列结论不正确的是 A 存在实数k 使得 ABC为等腰三角形B 存在实数k 使得 ABC的内角中有两角分别为30 和60 C 任意实数k 使得 ABC都为直角三角形D 存在实数k 使得 ABC为等边三角形 第48页 D 第49页 A 11 2018 贵州贵阳中考 已知二次函数y x2 x 6及一次函数y x m 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方 图象的其余部分不变 得到一个新函数 如图所示 当直线y x m与新图象有4个交点时 m的取值范围是 第50页 D 第51页 第52页 第53页 第54页 第55页 第56页 第57页 第58页