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2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。) 1计算: 5 2设等差数列的前项和为,已知,则_7_3已知P是ABC所在平面上一点,满足,则ABP与ABC的面积之比为45满足方程()的实数对的个数为 8 6已知函数的定义域为(其中),值域为,则符合条件的数组为7设集合.如果方程()至少有一个根,就称该方程为合格方程,则合格方程的个数为 23 8已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)9已知二次函数的图象过点(1,13),且函数是偶函数.(1)求的解析式;(2)函数的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.解 (1)因为函数是偶函数,所以二次函数的对称轴方程为,故. -4分又因为二次函数的图象过点(1,13),所以,故.因此,的解析式为. -8分(2)如果函数的图象上存在符合要求的点,设为P,其中为正整数,为自然数,则,从而,即. -12分注意到43是质数,且,所以有解得因此,函数的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121). -16分10已知,关于的方程有一个实根,求的最小值解 设为方程的实根,则有,即. 显然. -5分容易证明,于是. -15分当且仅当且时等号成立,此时,.结合可求得或因此的最小值为8. -20分11已知数列满足.证明:对一切,有(1); (2)解 (1)显然,所以().所以,对一切,所以. -5分所以,当时,所以.又,故对一切,有.因此,对一切,有. -10分(2)显然.由,知,所以,所以,所以, -15分所以,当且时,所以. -20分
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