山东科技大学20062007学年第一学期矩阵理论考试试卷班级 姓名 学号 题号一二三四五六七总得分评卷人审核人得分一、单项选择题(每题2分，共8分)1、设收敛，则A可以取为A. B. C. D. 2、设，则M不存在A. QR分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解3、设，则A=A. B. C. D. 4、设3阶矩阵A满足多项式, 且其最小多项式m(x)满足条件，则A可以相似于A. B. C. D. 二、填空题(每题5分，共20分)1、设 ，则 。2已知,并且,则矩阵幂级数= 。3设矩阵，则A的谱半径 。4、设5阶复数矩阵A的特征多项式为,则 .三、（12分）设，试求矩阵B使得。四、（10分）设，求。五、证明题(10分)设是n阶复数矩阵，是由A的元素取模后得到的矩阵。设对一切欧几里德范数为的复向量均有，证明可逆，并求其逆。六、(10分)复数域C是实数域R上的2维线性空间. 试定义C上的一个内积,使得1与成为C的一个标准正交基；并求的长度.七、(10分) 求矩阵的满秩分解。八、(10分)对于任何非零列向量及任何单位列向量，存在Householder矩阵H，使得。九、（10分）在复数域上求矩阵的Jordan标准形，并求出可逆矩阵，使得。山东科技大学20062007学年第一学期矩阵理论考试试卷答案一、（答案AAAAB）1注：A的特征值为0，-1，而的收敛区间为2、注：由定理M有n个不同特征值，故可以对角化3、注：M的秩为2故无QR分解4、注：，故5、注：B中矩阵的最小多项式为二、1、 E+ 2 3 4、 20注：把E写成1或I均可；也可有其它等价形式如等三、解 A的特征值为1，1，1。属于1的特征向量与广义特征向量为，；属于1的特征向量为。令，则。令故取，则 于是令，则。故(解法2)更简单地，A的Jordan标准型J如上。则为使只要找到K使得于是选从而取，则有这个矩阵与A的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将K的第3行的1倍加到第1行，自然将其第1列的1倍加到第三列即可：于是，B=PKP1，其中P为下面的初等矩阵此时四、解I A的Jordan标准形与过渡矩阵分别为。因此解2 利用A的最小多项式(x-1)2. 可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(A)即为所求。由a+b= f(1)= 与a=f(1)=可知b=.于是五、证明 由于(取a=(1,1,1)T即可)。故，因此矩阵A的特征值的模均小于1，从而矩阵的特征值的模均大于,从而可逆。进一步，矩阵幂级数收敛，其和恰为，因此。六、解 对任意xj+yjiC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)1+yj(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要=0，=1，=1, 必要且只要=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于(x-y)2+y21/2;因此1i的长度为51/2.七、解：对矩阵进行初等行变换其中所以，；而，其中由此可见，所以有。八、证明 当时，选u满足，则当时，选，有 九、解：由初等变换可得，所以，与Jordan标准形相似。令，1） 求解方程组，得到，取；2） 由，得到，取；3） 由，得到，取；4） 由，得到，取；所以，。检验有，即。山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是_.2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是_。3、 利用QR分解可以讲矩阵分解为_和 _矩阵乘积。4、 通过矩阵_分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。5、 将33矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式_.6、 当矩阵的_空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b有无穷多解。7、 所有的22实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是_.8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的_分解。9、 在选定一个基后，任何维数为n的欧式空间与_同构。10、 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m行，n列，则输入空间的维数是_。二、判断题 1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（） 2、两个子空间的并集是一个子空间。（） 3、在线性方程组Ax=b，当矩阵A式列满秩的时候，无论向量b是什么，方程组都有解。（） 4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（） 5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（） 6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（） 7、任何NN的实矩阵都可以对角化。（） 8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（） 9、任何MN实矩阵都有奇异值分解。（） 10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵） 设矩阵A为 A=2 4 2 4 1、求矩阵A的四个基本子空间的基和维数 2、画出矩阵A的四个基本子空间的示意图。 3、写出投影到矩阵A的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=0 1T在列空间上的投影矩阵。 4、写出投影到矩阵A的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=0 1在左零空间上的投影向量。四、（矩阵奇异值分解的伪逆）设矩阵A为A=2 2 -1 11、求矩阵A的奇异值分解。2、通过奇异值分解计算举着的M-P伪逆。五、（基变换和坐标变换）在线性空间V=P3(x)中，有三个向量f1（x）=-3+2x-x2f2（x）=-x+2x2f3(x)=-1+2x-x21、 证明B=f1（x），f2（x），f3（x）构成V=P3（x）的一个基。2、 设V=P3（x）中有标准基S=1，x，x2，写出由标准基S到基B 的过渡矩阵。3、 计算出向量f（x）=3+12x+7x2在基S下的坐标向量。4、 根据前述结果，利用坐标变换，计算出向量f（x）=3+12x+7x2在基B下的坐标向量。第19页共19页