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必修1拓展专题:抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点,也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现,由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数,再由基本函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能有的相关结论,是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数,是指没有明确给出函数表达式,只给出它具有的某些特征或性质,并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题,这类问题是学生学习中的一个难点,也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法,对教师的教学,学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容,学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”(函数),分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知,一般均是由抽象函数的结构,联想到已学过的具有相同或相似结构的某类(基本)“原型”函数,并由“原型”函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的,称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”(函数)并举例说明“原型”解法。一、中学阶段常用抽象函数的“原型”(函数)1、(为常数)2、=(0且1)3、 (0且1)4、(为常数)二、“原型”解法例析【例1】 已知函数对于任意实数、都有,且当0时,0,(-1)=-2,求函数在区间-2,1上的值域。分析与略解:由:想:(+)=+原型:(为常数)为奇函数。0时为减函数,0时为增函数。猜测:为奇函数且为R上的单调增函数,且在2,1上有4,2设0 ()0=0,为R上的单调增函数。令=0,则(0)=0,令=,则()=为R上的奇函数。(-1)=- (1)=-2 (1)=2,(-2)=2(-1)=-4-42(x-2,1)故在-2,1上的值域为-4,2【例2】 已知函数对于一切实数、满足(0)0,且当0时,1(1)当0时,求的取值范围(2)判断在R上的单调性分析与略解:由:想:原型:=(0, 1),=10。当1时为单调增函数,且0时,1,0时,01;01时为单调减函数,且0时,1,0时,01。猜测: 为减函数,且当0时,01。(1)对于一切、R,且(0)0令=0,则(0)=1,现设0,则-0,f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 1,01(2)设,、R,则0,()1且1, f(x)在R上为单调减函数【例3】 已知函数定义域为(0,+)且单调递增,满足(4)=1,(1)证明:(1)=0;(2)求(16);(3)若+ (-3)1,求的范围;(4)试证()=(nN)分析与略解:由:想:(、R+)原型:(0,0)猜测:有(1)=0,(16)=2,(1)令=1,=4,则(4)=(14)=(1)+(4)(1)=0(2)(16)=(44)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在(0,+)上单调递增 , (3,4(4)【例4】 已知函数对于一切正实数、都有且1时,1,(2)=(1)求证:0;(2)求证:在(0,+)上为单调减函数(3)若=9,试求的值。分析与简证:由,想:原型:(为常数(=)猜测:0,在(0,+)上为单调减函数,(1)对任意0,=)=0假设存在0,使=0,则对任意0=f(=0,这与已知矛盾故对任意0,均有0(2)、(0,+),且,则1,()1, 即在(0,+)上为单调减函数。(3) (2)=,()=9 (2)()=1(2)=1=f(1),而在(0,+)是单调减函数2=1 即=综上所述,由抽象函数问题的结构特征,联想已学过的具有相同或相似结构的基本(原型)函数,并由基本函数的相关结构,预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象具体抽象”的“原型”联想思维方式,可使抽象函数问题顺利获解,且进一步说明,学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。三.课后巩固练习1设函数的定义域为,并且满足,且,当时,(1)求的值;(3分)(2)判断函数的奇偶性;(3分) (3)如果,求的取值范围(6分)2若是定义在上的增函数,且(1)、求的值;(2)、若,解不等式.3定议在上的单调函数满足,且对任意都有(1)求证:为奇函数;(2)求证:f(x)是R上的增函数;(3)若对任意恒成立,求实数的取值范围.4定义在上的函数,当时,且对任意的 ,有,()求证:;()求证:对任意的,恒有;()若,求的取值范围.
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