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高三数学数列的通项公式【教学目标】一、 知识目标1、解决形如 通项公式的确定。 2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。 二、能力目标 在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式,培养学生类比思维能力。通过对公式的应用,提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结,促进学生自主学习和归纳的能力。三、 情感目标通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊,体现“归纳推理”的思想方法。【教学重点】:通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法,并能解决实际问题。【教学难点】:1、 如何将转化为我们熟悉的等差和等比数列。2、 理解和掌握此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。【知识点梳理】1. 数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示,那么这个公式叫 做这个数列的通项公式2Sn与an的关系 已知Sn,则an在数列an中,若an最大,则若an最小,则 3、已知求数列通项公式用累加法4、已知求数列通项公式用累乘法5、已知求数列通项公式(1):可转化为令,则成等比数列;(2):可转化为,则为等比数列【典型例题】题型一:由数列的前几项写出数列的通项公式例1、根据下面各数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:解析: 点拨:(1)解决这类问题需要我们从多角度、全方位观察、广泛联系,一般要将原数列变形后化为基本数列或特殊数列,要熟知一些基本数列,如数列等(2)归纳得出的数列的通项公式适合前几项即可,并且通项公式也不一定唯一【变式练习】1.写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,;(2),;(3)1,;(4)3,33,333,3 333,.审题视点 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项之间的关系,项与前后项之间的关系解(1)各项减去1后为正偶数,所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,所以an.(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为21,偶数项为21,所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为:,分母都是3,而分子分别是101,1021,1031,1041,所以an(10n1)题型二:由递推关系求通项(1)累加法:已知求数列通项公式用累加法例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。【变式练习】1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。2. 已知数列中,求数列的通项公式;【解题思路】已知关系式,可利用迭加法或迭代法;【解析】(累加法), (2)累乘法:已知求数列通项公式用累乘法例2 已知数列中,求数列的通项公式.【解析】由得,.【变式练习】1.已知数列中: a11,anan1(n2), 确定数列an的通项公式【解析】anan1(n2),an1an2,a2a1.以上(n1)个式子相乘得 ana1.2. 已知数列满足=,求【解析】由已知得,分别令n=1,2,3,.(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘,即= 所以,又因为也满足该式,所以。【方法与技巧总结】累加法适用于求递推关系形如“”; 累乘法适用于求递推关系形如“;累加法、累乘法公式: .(3)转化法: 1. (A、B为常数)型,可化为=A()的形式.例3、已知数列中,求的通项公式解析:方法一:转化法故是首项为2,公比为2的等比数列,即方法二:引入新数列法两式相减得故数列是首项为公比为2的等比数列,即 再用累加法得:【变式练习】1. 设数列的首项,=,(n=2、3、4) 求的通项公式解:构造新数列,使之成为的等比数列即= 整理得:=满足=得 = p=-1 即新数列首项为,的等比数列 = 故 =+12. 已知数列中,=2,= 求的通项公式。解:构造新数列,使之成为的等比数列= 整理得:=+使之满足已知条件 =+2解得 是首项为 的等比数列,由此得= =2 .(A、B、C为常数,下同)型,可化为=)的形式.例4 在数列中,求通项公式。解:原递推式可化为: 比较系数得=-4,式即是:.则数列是一个等比数列,其首项,公比是2. 即.【变式练习】1.已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入式得由及式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。2. 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得整理得。令,则,代入式得由及式,得,则,故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。3.型,可化为的形式例5在数列中,当, , 求通项公式.解:原递推式可化为:比较系数得=-3或=-2,不妨取=-2.式可化为:则是一个等比数列,首项=2-2(-1)=4,公比为3.利用上题结果有:.【变式练习】1.已知数列满足(I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通项公式解:(I)证明:是以为首项,2为公比的等比数列(II)解:由(I)得 4、型,可化为的形式例6在数列中,=6 求通项公式.解 原式可化为: 比较系数可得:=-6, 式为是一个等比数列,首项,公比为.即 故.【变式练习】1.在数列中,=2,= ,求数列的通项解:构造新数列,使之成为q=4的等比数列,则= 整理得:=满足=,即得新数列的首项为,q=4的等比数列 5、形如型(1)若(d为常数),则数列为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,分奇偶项来分求通项.例7数列满足,求数列an的通项公式.分析 1:构造 转化为型解法1:令则.时,各式相加:当n为偶数时,.此时当n为奇数时,此时,所以.故 解法2:时,两式相减得:.构成以,为首项,以2为公差的等差数列;构成以,为首项,以2为公差的等差数列. 评注:结果要还原成n的表达式.【方法与技巧总结】原数列既不等差,也不等比。若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列,使之等比,从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数 (4)取对数法:例7已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。在式两边取常用对数得设将式代入式,得,两边消去并整理,得,则,故代入式,得 由及式,得,则,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。【变式练习】1.若数列中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=解 由题意知0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为2的等比数列, ,即.(5)开平方法:(换元法)例8已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,则故,代入得即因为,故则,即,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。评注:本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。【变式练习】1.若数列中,=2且(n),求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项,3为公差的等差数列。因为0,所以。(6)倒数法: 形如(都为的一次式,且中无常数项)的递推公式可用倒数变换,将其转化为等差或等比数列例9 数列中,解析:取倒数,得:为首项公差的等差数列【变式练习】1.已知数列满足,且(),求数列的通项公式。解:把原式变形成 两边同除以得即 构造新数列,使其成为公比q= 的等比数列即整理得: 满足式使 数列是首项为,q= 的等比数列 。题型三:由与的关系求通项例10数列的前项和求其通项公式解析:法一、,由得:法二:由得: 为等比数列点拨:(1)利用与的关系 (2)若和在一个等式中,一般可利用与的关系,消去或,构造关于或的递推公式,再进一步确定或【变式练习】1. 已知为数列的前项和,求下列数列的通项公式: ; .【解题思路】已知关系式,可利用,这是求数列通项的一个重要公式.【解析】当时,当时,.而时,.当时,当时,.而时,.2. 已知为数列的前项和, ,求数列的通项公式.【解析】当时,当时,.是以为公比的等比数列,其首项为,题型四:求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数)的数列 形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为 若有二异根,则可令是待定常数) 若有二重根,则可令是待定常数) 再利用可求得,进而求得例11已知数列满足,求数列的通项解:其特征方程为,解得,令,由,得, 例12已知数列满足,求数列的通项解:其特征方程为,解得,令,由,得, 【变式练习】1.已知数列满足,求数列的通项公式。解:的相应特征方程为,解之求特征根是,所以。由
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