选修4-1 第一节 相似三角形的判定及有关性质1如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBC，若AD12，BC20，求EF.解：ADBC，.OEAD，.OEAD12，同理可求得OFBC20，EFOEOF15.2已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP.证明：在正方形ABCD中，Q是CD的中点，2.3，4.又BC2DQ，2.在ADQ和QCP中，且CD90，ADQQCP.3如图，在ABCD中，AE、BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M.(1)试说明：AEBF；(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明解：(1)在ABCD中，ADBC，DABABC180.AE、BF分别平分DAB和ABC，DAB2BAE，ABC2ABF.2BAE2ABF180.即BAEABF90，AMB90，AEBF.(2)线段DF与CE是相等关系，即DFCE.在ABCD中，CDAB，DEAEAB.又AE平分DAB，DAEEAB.DEADAE.DEAD.同理可得，CFBC，又在ABCD中，ADBC，DECF.DEEFCFEF，即DFCE.4如图，已知在ABC中，BAC90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证：.证明：BAC90，ADBC，ADBADCBAC90，1290，2C90.1C.ABDCAD，.又E是AC的中点，DEEC，3C.又34，1C，14.又有FF，FBDFDA.5如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CD6，E为AB的中点，ADDB23，求AC及CE.解：设AD2t，DB3t，由射影定理得CD2ADDB，622t3t，t(t舍去)，AD2，DB3，所以斜边ABADDB235故CEAB.再由射影定理得AC2ADAB2560AC2.6已知：如图ABC中，ABAC，BAC90，D、E、F分别在AB、AC、BC上，AEAC，BDAB，且CFBC.求证：(1)EFBC；(2)ADEEBC.证明：设ABAC3a，则AEBDa，CFa.(1)，又C为公共角，故BACEFC，由BAC90得EFC90，EFBC.(2)由(1)得EFa，故，又，.DAEBFE90，ADEFBE.ADEEBC.7已知线段OAOB，C为OB上中点，D为AO上一点，连结AC、BD交于点P.(1)如图1，当OAOB且D为AO中点时，求的值；(2)如图2，当OAOB，时，求tanBPC.解：(1)过C作CEOA交BD于E，易证BCEBOD，ECPDAP，CEODAD；2.(2)过C作CEOA交BD于E，设ADx，AOOB4x，则OD3x，易证BCEBOD，ECPDAP，CEODx，；由勾股定理可知BD5x，DEx，则，可得PDADx，则BPCDPAA，tanBPCtanA.8已知，边长为8的等边ABC中，若D、E分别是BC、AC上的点，且ADE60，设BDx，AEy，求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值解：ADE60，ADBCDE120.又ADBBAD180B120，BADCDE.又BC60，ABDDCE，.由BDx，EAy，得DC8x，CE8y，.yx2x8(x4)26.当BD4，即D为BC的中点时，EA有最小值6.