2020届高考数学压轴题跟踪训练81（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分2（2020年沧州二中上学期期末）（本小题满分12分）函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （）用、表示m； （）证明：当； （）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数， 求b的取值范围及a与b所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （）解：2分 （）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为于是的充要条件是10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分（）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 8分令，于是对任意成立的充要条件是 由当时当时，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分3（本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而