2020年普通高考数学科一轮复习精品学案第32讲 不等式解法及应用一课标要求：1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2一元二次不等式经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。3二元一次不等式组与简单线性规划问题从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。二命题走向分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。预测2020年高考的命题趋势：1结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；3在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；4对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。三要点精讲1不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。情况分别解之。3一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。4分式不等式分式不等式的等价变形：0f(x)g(x)0，0。5简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|ax2a2ax0)，|x|ax2a2xa或x0)。一般地有：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g (x)或f(x)0的解集为（ ）A.x|x3C.x|x3 D.x|1x0，x3.故原不等式的解集为x|x3。点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）。题型2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例3（1）不等式（1x）（1x）0的解集是（ ）Ax0x1 B.xx0且x1Cx1x1 D.xx1且x1（2）不等式组的解集是（ ）A.x0x2 B.x0x2.5C.x0x D.x0x3解析：（1）答案：D；解法一：x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0，（x1）（x1）0，0x1。x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0（1x）20，x1，x0且x1。综上，不等式的解集为x1且x1。解法二：原不等式化为： 或解得1x1，解得即x1，原不等式的解集为x1且x1。点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。（2）答案：C解法一：当x2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，。注意x2，得2x；当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6。即2x0 注意0x2，得0x2。综上得0x，所以选C。解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=，不适合不等式，所以排除B；选C。点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。例4（1）不等式（）32x的解集是_。（2）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）（3）设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）解析：（1）答案：x|2x4将不等式变形得则x282x，从而x22x80，（x2）（x4）0，2x4，所以不等式的解集是x|2x4评述：此题考查指数不等式的解法；（2）答案：C解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图46可得C答案。图46 图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图47）。（3）C；点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。题型3：含参数的不等式的求解问题例5（1）设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围？（2）解关于x的不等式1(a1)。分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。解析：（1）M1，4有两种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围。设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)当0时，1a2，M=1，4；当=0时，a=1或2；当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4。当0时，a1或a2。设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24，即，解得2a，M1，4时，a的取值范围是(1，)。（2）原不等式可化为：0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解。由于，原不等式的解为(，)(2，+)。 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解。由于，若a0，解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，解集为(2，)。综上所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2)。点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错。例6（1）设a0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) 0的解集为_ _；（2）设，函数有最小值，则不等式的解集为 。解析：（1）由于函数有最大值，则。所以原不等式可转化为，又因为恒成立，由解得；（2）由于函数有最小值，故。原不等式化为，即。点评：含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类标准为两种情况，这也是分类的标准。题型4：线性规划问题例7（1）如果实数满足条件， 那么的最大值为（ ） A B C D（2）设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D解析：（1）当直线过点(0，-1)时，最大，故选B；（2）B点评：近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分知识大多都属于基础题目，属于中低档题目。例8（1）某厂生产甲产品每千克需用原料和原料分别为，生产乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料各千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大