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第九章单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1若曲线1的一条准线方程为x10,则m的值为()A8或86B6或56C5或56 D6或86答案D解析由准线是x10及方程形式知曲线是焦点在x轴上的椭圆,所以a2m4,b29,则c,于是10,解得m6或86.m49,m5,均符合题意2已知椭圆1(ab0)的面积为Sab,现有一个椭圆,其中心在坐标原点,一个焦点坐标为(4,0),且长轴长与短轴长的差为2,则该椭圆的面积为()A15 B.C3 D.答案D解析由题意得则得到所以Sab.3过抛物线yx2准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点分别为M,N,则直线MN过定点()A(0,1) B(1,0)C(0,1) D(1,0)答案A解析特殊值法,取准线上一点(0,1)设M(x1,x12),N(x2,x22),则过M、N的切线方程分别为yx12x1(xx1),yx22x2(xx2)将(0,1)代入得x12x224,MN的方程为y1,恒过(0,1)点4设双曲线16x29y2144的右焦点为F2,M是双曲线上任意一点,点A的坐标为(9,2),则|MA|MF2|的最小值为()A9 B.C. D.答案B解析双曲线标准方程为1,离心率为,运用第二定义,将|MF2|转化为M到右准线的距离5抛物线yax2(a0)的焦点坐标是()A(0,) B(0,)C(0,) D(0,)答案C解析因为a0,所以方程可化为x2y,所以焦点坐标为(0,)故选C.6设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上,且0,则|等于()A. B2C. D2答案B解析F1(,0),F2(,0),2c2,2a2.0,|2|2|F1F2|24c240()2|2|2240,|2.7已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0,n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)若c是a与m的等比中项,n2是m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率等于()A. B.C. D.答案B解析c2am,2n2c2m2,又n2c2m2,m2c2,即mc.c2ac,则e.8设双曲线以椭圆1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为()A2 BC D答案C解析椭圆1中,a5,c4.设双曲线方程为1(a0,b0)所以c5,4.所以a220,b2c2a25.所以双曲线方程为1.所以其渐近线方程为yxx,所以其斜率为.解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a,b,c关系,这也是极易混淆之处9已知椭圆1的两个焦点为F1、F2,M是椭圆上一点,且|MF1|MF2|1,则MF1F2是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等边三角形答案C解析由1知a2,b,c1,e.则|MF1|MF2|4,又|MF1|MF2|1.|MF1|,|MF2|,又|F1F2|2.|MF1|F1F2|MF2|,cosMF2F10,MF2F190.即MF1F2是直角三角形10已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,OAF的面积为(O为原点),则两条渐近线的夹角为()A30 B45C60 D90答案D解析由yx和x得A(,),Scab,又Sa2,ab,其夹角为90.11. 已知两点M(3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且|0,则动点P(x,y)到点A(3,0)的距离的最小值为()A2 B3C4 D6答案B解析因为M(3,0),N(3,0),所以(6,0),|6,(x3,y),(x3,y)由|0得66(x3)0,化简整理得y212x,所以点A是抛物线y212x的焦点,所以点P到A的距离的最小值就是原点到A(3,0)的距离,所以d3.12如图,过抛物线x24py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2(yp)2p2于点A、B、C、D,则的值是()A8p2B4p2C2p2 Dp2答案D解析|AF|pyA,|DF|pyD,|yAyDp2.因为,的方向相同,所以|yAyDp2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13已知正方形ABCD,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为_答案1解析令AB2,则AC2,椭圆中c1,2a22a1,可得e1.命题思路本题考查椭圆概念和基本量的关系14若焦点在x轴上的椭圆1上有一点,使它与两个焦点的连线互相垂直,则b的取值范围是_答案b且b0解析设椭圆的两焦点为F1(c,0),F2(c,0)以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点时,在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直,此时条件满足cb,从而得c2b2a2b2b2b2a2,解得b且b0.15设双曲线x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为E,P(x,y)为该区域的一个动点,则目标函数zx2y的最小值为_答案16以下四个关于圆锥曲线的命题中:设A、B为两个定点,k为非零常数,若|k,则动点P的轨迹为双曲线;过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若(),则动点P的轨迹为椭圆;方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;双曲线1与椭圆y21有相同的焦点其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析错误,当k0且k0且k|AB|时表示一条射线;当k0且k|AB|时,不表示任何图形;当k1时,设Q(x,y),因为抛物线的准线为x1.所以由题意得2(x1)(x11)(x21)即x,所以y2x41.即Q点坐标为(,1)当xb0,且得a24,b21,曲线C的方程为x21(x0,y0)y2(0x1),y.设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2)(2)|2x2y2,y24,|2x215459,且当x21,即x1时,上式取等号故|的最小值为3.19(本小题满分12分)已知点A(3,0),点B在x轴上,点M在直线x1上移动,且0,动点C满足3.(1)求C点的轨迹D的方程;(2)设直线l:yk(x1)与曲线D有两个不同的交点E,F,点P(0,1),当EPF为锐角时,求k的取值范围解析(1)设M(1,y0),C(x,y),B(b,0)3,b,0.又0,(2,y0),(b1,y0),2(b1)y020.由得y2(1x),这就是C点的轨迹D的方程(2)l:yk(x1)代入y2(1x)得3k2x2(16k2)x3k210,解得x11,x2,则y10,y2.设E(1,0),则F(,),(1,1),(,1)当EPF为锐角时,(1)0,解得k.当时,有k1,应舍去故k的取值范围为(,1)(1,)(,)20(本小题满分12分)如右图所示,等腰三角形ABC的底边BC的两端点是椭圆E:1(ab0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上(1)若ABC60,|AB|4,试求椭圆E的方程;(2)设椭圆离心率为e,求cosABC.解析(1)因为ABC60,且ABC为等腰三角形,所以ABC是正三角形又因为点B,C是椭圆的两焦点,设椭圆焦距为2c,则2c|BC|AB|4,如右图所示,连结CD,由AB中点D在椭圆上,得2a|BD|CD|AB|AB|22,所以a1,从而a242,b2a2c22,故所求椭圆E的方程为1.(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,且|AD|DB|m,连结CD,则|BO|OC|c,|DC|2am,在RtAOB中,cosABC.在BCD中,由余弦定理,得cosABC.
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