第十一章概率名师检测题时间：120分钟分值：150分第卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的一项是()A互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大D事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小解析：由互斥事件与对立事件的意义可知，选B.答案：B2某学校共有2020名学生，现将从中选派5名学生去国家大剧院参加音乐晚会，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2020名学生中剔除8名学生，再从2000名学生中随机抽取5名，则其中学生甲被选派的概率是()A.B.C. D.解析：依题意，对于简单随机抽样来说，每个个体被选取的概率均相等，因此学生甲被选取的概率是，选D.答案：D3设集合Pb,1，Qc,1,2，PQ，若b，c2,3,4,5,6,7,8,9，则bc的概率是()A. B.C. D.解析：依题意得当b2时，c可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时bc；当b从3,4,5,6,7,8,9中选取时，bc.因此，bc的概率为，选C.答案：C410张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是()A. B.C. D.解析：无人中奖的概率为.故至少有1人中奖的概率为1.答案：D点评：本题主要考查排列，组合，等可能事件的概率计算等知识，注意“至少”的出现，一般是先求出其对立事件的概率5羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为()A. B.C. D.解析：从5只羊中任选两只，有C5210种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有C21C316种，故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为.选C.答案：C6在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率是()A. B.C. D.解析：依题意得，从正方体的八个顶点中任取三个顶点可形成的等腰三角形的个数按所选取的三个顶点是否来自于该正方体的同一个面来分类：(1)若所选取的三个顶点来自于该正方体的同一个面，这样的三角形共有4624个；(2)若所选取的三个顶点不是来自于该正方体的同一个面，这样的三角形共有8个而从正方体的八个顶点中任取三个顶点可形成的三角形共有C8356个于是，所求的概率等于，选D.答案：D7两个同学做同一道数学题，他们做对的概率分别是0.8和0.9，则该题至少被一个同学做对的概率是()A0.72 B0.83C0.7 D0.98解析：依题意，P1(10.8)(10.9)10.020.98，选D.答案：D8一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为()A. B.C. D.解析：依题意得，一枚硬币连掷5次，至少一次正面向上的概率等于15，选B.答案：B9在正方体的顶点、面的中心和体中心共15个点中任取三个点，那么所取三点共线的概率是()A. B.C. D.解析：三点共线的情形有：面对角线，体对角线，相对面中心连线概率P.答案：D10要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为()A. B.C. D.解析：按分层抽样的方法从10名女生和5名男生中选出6名学生，则女生中选4人，男生中选2人，共有C104C52种选法而从15名学生中选6名学生共有C156种选法，故其概率P，故选A.答案：A11某篮球选手每次投篮命中的概率为，各次投篮相互独立，令此选手投篮n次的命中率为an(an为进球数与n之比)，则事件“a6，an，n1,2,3,4,5”发生的概率为()A. B.C. D.解析：依题意，因为a6，an(n1,2,3,4,5)，所以第六次一定投中，第一次一定投不中，且第二次到第五次中只能投中两次若第二次投不中，则第三次到第五次投中两次有3种方法，若第二次投中，则第三次必投不中，从而第四次到第五次投中一次有2种方法，因此事件a6，an(n1,2,3,4,5)发生的概率为，选择C.答案：C12若一个四位数字的数，前两位数字之积恰好等于后面两位数，则称这个数为“吉积数”如“0900”，“1909”，“9218”等都为“吉积数”某地汽车牌照某批次的号码前两位是固定的英文字母，后面是四位数字，丁先生买了新车，给汽车上牌照时最多有三次选择机会(有放回地随机选择号码)丁先生选号时刚好是选这批号码的第一位车主，如果他想选一个末尾数字没有4的“吉积数”，则丁先生成功的最大概率最接近的值为()A3% B1%C0.88% D2.64%解析：显然，在一个“吉积数”的车牌号中，确定了第1个和第2个数位上的数字，后面两个数字自然就确定了而每个数位上的数字有10种选择，所以“吉积数”共有：C101C101100个而尾数为4的“吉积数”有：1404,2204,2714,3824,4104,4624,6424,6954,7214,8324,8864,9654共12个，尾数不含4的“吉积数”有C101C1011288个，而这批车牌号码一共有104个，选择一次成功的概率为：P0.0088.而丁先生一共有3次选择的机会，成功的最大概率为0.008830.02642.64%，故选D.答案：D第卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为_(用数值作答)解析：C10337.答案：14从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_解析：正二十边形共有170条对角线，在平面直角坐标系中作一个单位圆，将单位圆与y轴正半轴的交点记作A1，然后按顺时针方向在单位圆上等距离地依次取19个点，依次记为A2、A3、A4、A5、A20；显然，第11个点A11在单位圆与y轴负半轴的交点上，顺次连接A1、A2、A3、A4、A5、A20，即可得到正二十边形A1A2A3A4A5A20，再连接A1A3、A2A4、A3A5、A10A12.显然A1A3不平行于任何一条边，而与A1A3平行的对角线有：A20A4，A19A5，A18A6，A17A7，A16A8，A15A9，A14A10，A13A11，共8条；类似地，A2A4、A3A5、A10A12也均不平行于任何一条边，且对于这9条对角线的每一条，也均有8条对角线与之平行；故与正二十边形的边不平行的直线有10990条其概率为P.答案：15一对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0,0,2,8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得卡片排成的顺序为“2020北京”或“北京2020”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为_解析：将“0,0,2,8，北，京”这六张卡片进行排列共有C62A44360(从6个位置中任选2个位置作为0的位置，有C62种方法，然后再将“2,8，北，京”在余下的4个位置上进行排列共有A44种方法)种方法，在这些排列中只有两种方法满足要求，因此所求的概率是.答案：16分别写有a，a，g，g，g，h，n，n，u的九张卡片随意排成一列，恰能拼成“黄冈”的汉语拼音的概率是_解析：依题意，将a，a，g，g，g，h，n，n，u排成一列共有C91C81C72C52C3315120种不同的排法，能组成“黄冈”的汉语拼音的只有1种，因此概率为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)甲、乙两人在同一位置向目标射击，已知在一次射击中，甲、乙击中目标的概率分别为与.求：(1)甲射击两次，至少一次击中目标的概率；(2)甲、乙两人各射击两次，他们一共击中目标2次的概率解析：(1)甲射击一次，未击中目标的概率为1，因此，甲射击两次，至少击中目标一次的概率为12.(2)设“甲、乙两人各射击两次，甲击中目标2次，乙未击中”为事件A；“甲、乙两人各射击两次，乙击中目标2次，甲未击中”为事件B；“甲、乙两人各射击两次，甲、乙各击中1次”为事件C，则P(A)22；P(B)22；P(C)C21C21.因为事件“甲、乙两人各射击两次，共击中目标2次”为ABC，而A，B，C彼此互斥，所以，甲、乙两人各射击两次，共击中目标2次的概率为PP(A)P(B)P(C).18(本小题满分12分)因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立，该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4.(1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；(2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率解析：(1)令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件，则P(A)0.20.40.40.30.2.(2)令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，则P(B)0.20.60.40.60.40.30.48.19(本小题满分12分)甲、乙、丙三个同学都解同一道竞赛题，若各自单独解题，每个同学解出正确答案的概率都为；若任意两个同学合成一组解，则这一组得出正确答案的概率为；若三个同学合成一组，则得出正确答案的概率为.问：怎样安排，才能使这道题的解答正确的概率最大？说明理由解析：记A、B、C分别为事件“分三组解题、分二组解题、分一组解题，得出正确答案”则P(A)1P()13P(B)1P()1P(C).P(B)P(C)P(A)三个同学分两人一组，一人一组解题，解出正确答案的概率最大20(本小题满分12分)某城市有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭(1)求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；(2)求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；(3)求这4个家庭中恰好有2个家庭A、B报都没有订阅的概率解析：(1)设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A，P(A)C43(0.3)3(0.7)0.0756.(2)设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B，P(B)1(0.6)410.12960.8704.(3)设“这4个家庭中恰好有2个家庭A、B报都没有订阅”的事件为C，因为有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报有20%的家庭同时订阅了A报和B报所以两份报纸都没有订阅的家庭有30%.所以P(C)C42(0.3)2(0.7)2