第七章直线和圆的方程 时间：120分钟分值：150分第卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1将圆x2y21按向量a(2，1)平移后，恰好与直线xyb0相切，则实数b的值为()A3B3C2 D2解析：将圆x2y21按向量a(2，1)平移后，圆心(0,0)平移到点(2，1)，此时平移后的圆恰好与直线xyb0相切，则圆心到直线的距离等于半径，即d1r，解得b3，故选B.答案：B2若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有，解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为，选B.答案：B3已知点A(2,0)，B(0,2)，C是曲线(R)上任意一点，则ABC的面积的最小值等于()A. B3C3 D3解析：直线AB：yx2，点C在圆(x1)2y21上，圆心(1,0)到直线AB的距离为，|AB|2，点C到直线AB的距离的最小值为1，(SABC)min23，故选D.答案：D4已知圆M：(x4)2(y3)225，过圆M内定点P(2,1)作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD的面积最大值为()A21 B21C. D42解析：当直线AC、BD中有一条直线斜率为0时，不妨设直线AC的斜率为0，易知此时|AC|BD|2，S四边形ABCD|AC|BD|42(对于此题来说，至此再结合选项可知，选D)当直线AC、BD的斜率均不为0时，设直线AC的斜率为k(k0)，则直线AC的方程是y1k(x2)，即kxy12k0，此时圆心M(4,3)到直线AC的距离等于，|AC|2 2 ，同理|BD|2 2 ，S四边形ABCD|AC|BD|2 42.综上所述，四边形ABCD的面积最大值是42，选D.答案：D5将直线l1：y2x绕原点逆时针旋转60得直线l2，则直线l2到直线l3：x2y30的角为()A30 B60C120 D150解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k31，l1l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30，选A.答案：A6圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为(x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F.则的最小值是()A12 B10C6 D5解析：显然圆C是一个以(2,0)为圆心，2为半径的圆；设圆M的圆心为(x，y)，则，即(x2)2y225，显然，圆M的圆心在一个以(2,0)为圆心，5为半径的圆上运动，这类似于一个地球绕着太阳转的模型，显然当点P距离点C最近时，最小在圆(x2)2y225上取一点(2,5)，以点(2,5)为圆心作圆M，此时圆M上距离点C最近的点为P(2,4)，连结PE、PF、CE、CF，PE、PF是圆C的切线，PECE，PFCF；又PC4，CECF2，PEPF；在CPE中，cosCPE，cosFPEcos2CPE221；|cosFPE6；类似地，当点M在圆(x2)2y225上运动时有同样的结论故选C.答案：C7已知A为xOy平面内的一个区域甲：点(a，b)(x，y)|；乙：点(a，b)A.如果甲是乙的必要条件，那么区域A的面积()A最小值为2 B无最大值C最大值为2 D最大值为1解析：如图，作出不等式组所表示的平面区域，记作B.甲是乙的必要条件，乙甲，(a，b)A(a，b)B，即区域A内的点都在区域B内，而SB412，SA2，即SA的最大值为2，故选C.答案：C8(2020济南模拟)已知变量x，y满足约束条件，若目标函数zyax仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为()A(1，) B(，1)C(1，) D(，1)解析：点(5,3)为直线y3和直线xy2的交点，通过绘制可行域，观察直线zyax绕点(5,3)旋转，易得该直线的斜率即a的取值范围为(1，)答案：A9设O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)若点N(x，y)满足不等式组则使得取得最大值时点N的个数为()A1个 B2个C3个 D无数个解析：作出可行域为如图所示的ABC，令z2xy.其斜率k2kBC，z2xy与线段BC所在的直线重合时取得最大值，所以满足条件的点N有无数个，故选D.答案：D10已知O为直角坐标系原点，P、Q两点的坐标均满足不等式组则tanPOQ的最大值等于()A. B1C. D0解析：作出可行域，则P、Q在图中所示的位置时，POQ最大，即tanPOQtan(POMQOM)1，所以最大值为1，选B.答案：B11已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a2sinacos0，b2sinbcos0，则连接A(a2，a)、B(b2，b)两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是()A相离 B相交C相切 D不能确定解析：依题意得，点A，B均在直线xsinycos0上，即直线AB的方程是xsinycos0，注意到原点到该直线的距离为d1，因此选B.答案：B12已知关于x的方程x3ax2bxc0的三个实根可作为一个椭圆，一个双曲线，一个抛物线的离心率，则的取值范围是()A(2,0) B(0,2)C(1,0) D(0,1)解析：依题意，方程x3ax2bxc0必有三根0x11，x31，所以c(ab)1，则f(x)x3ax2bx(ab)1(x1)x2(a1)xab1，因此，0x11是方程g(x)x2(a1)xab10的两根，因此，作出此不等式组对应的可行域，如图，表示可行域内的点与点(1,1)连线的斜率k，因为ab10与2ab30交点为(2,1)，所以由图易知2k0，b0)的最大值为8，则ab的最小值为_解析：原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线zabxy(a0，b0)过直线2xy20与直线8xy40的交点(1,4)时，目标函数zabxy(a0，b0)取得最大值8，即8ab4，ab4，ab24.答案：414直线y2xm和圆x2y21交于A、B两点，以Ox为始边，OA、OB为终边的角分别为、，则sin()的值为_解析：设AB的倾斜角为，AB的中点为C，AB与x轴的交点为D，则tan2，xOC，(xOC)，即，2，所以sin()sin22sincos.答案：15过原点O作一条倾斜角为15的直线l与圆C：(x1)2y24相交于两点M、N，则_.解析：设圆C与x轴交于E，F两点，依题意得原点O位于圆内，向量、反向共线，则|OM|ON|，由相交弦定理得|OM|ON|OE|OF|.又|OE|OF|(2|OC|)(2|OC|)4|OC|23，因此|OM|ON|3.答案：3点评：有关圆的问题，常常需要借助有关圆的性质将问题转化，否则计算可能会比较复杂16在平面直角坐标系xOy中，已知集合A(x，y)|xy2，x0，y0，则集合B(2xy，x2y)|(x，y)A表示的平面区域的面积为_解析：设，则，代入集合A中需要满足的不等式组为，则此不等式组表示的平面区域即为集合B，作出图象可知，可行域即为以(0,0)，(2,4)，(4,2)为顶点的三角形，则其面积为10.答案：10三、解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(1,1)在AD边所在直线上(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程(3)过N(2,0)作圆P与ABCD外接圆外切，求圆心P的轨迹方程解析：(1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3.又因为点T(1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20.(2)由解得点A的坐标为(0，2)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又|AM|2，从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28.(3)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|PN|2，即|PM|PN|2.故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支因为实半轴长a，半焦距c2，所以虚半轴长b.从而动圆P的圆心的轨迹方程为1(x)18(本小题满分12分)如图，已知圆C：(xa)2(ya)2a2和直线l：3x4y30，若圆C上有且仅有两个点到l的距离等于1，求a的取值范围解析：设与l平行且到l距离为1的直线为：3x4yc0，则 1，c2或c8.由已知 |a|或 |a|，整理得|7a2|5|a|或|7a8|5|a|，即6a27a10或3a214a80.解得 a1或4a .因此所求a的范围是：4a 或 a1.19(本小题满分12分)如图，已知定圆C：x2(y3)24，定直线m：x3y60，过A(1，0)的一条动直线l与直线m相交于N，与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点(1)当l与m垂直时，求证：l过圆心C；(2)当|PQ|2时，求直线l的方程；(3)设t，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由解析：(1)证明：由已知km，故kl3，所以直线l的方程为y3(x1)将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，由于|PQ|2，所以|CM|1，由|CM|1