2020年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）平面向量的数量积及应用一【课标要求】1平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二【命题走向】本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值59分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.预测2020年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目.（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三【要点精讲】1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与的夹角；说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0q180。C（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积.（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：。乘法公式成立； ；平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。向量的夹角：cos=。当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：O，平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) . 2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。四【典例解析】题型1：数量积的概念例1判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零.例2 已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则（） （）的取值范围是 .【解析】设，因为是的重心，故，又，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（），故；（），那么，当与重合时，当位于中点时， ，故，故但因为与不能重合，故（2）设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（）（）= | （）（）不与垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向.（2）答案：D平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（）（）=（）（）=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=94=9|24|2成立。故真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。题型2：向量的夹角例3（1）过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC为正三角形易得3选B评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力 （2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为（ ）A30B60C120D150解析：（2）；（3）由题意，且与的夹角为，所以， ， ，同理可得。而，设为与的夹角，则。（4）C；设所求两向量的夹角为即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握.例4（1）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）（2020广东卷理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，2、（山东临沂2020年模拟）如图，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。（1） 求关于的表达式;（2） 求的值域。解：（1）由正弦定理，得 （2）由，得 ，即的值域为.3. 已知,。 （1）求； （2）设BAC，且已知cos(+x) ，求sinx解：（1）由已知 CDAB，在RtBCD中BC2=BD2+CD2, 又CD2=AC2AD2, 所以BC2=BD2+AC2AD2=49，4分所以6分（2）在ABC中， 8分 而 如果，则 10分 点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题.题型3：向量的模例5（1）已知向量与的夹角为，则等于（ ） A5B4C3D1（2）（2020辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于（ ）A. B.2 C.4 D.12解析 由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412解析：（1）B；（2）B点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；将变形代入可得：y=；再代回得：。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型4：向量垂直、平行的判定例7已知向量，且，则 。解析：，。例8已知，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.题型5：平面向量在代数中的应用例9已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明：设 则。点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。例10已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。解析：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。题型6：平面向量在几何图形中的应用例12用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图，AB是O的直径，点P是O上任一点（不与A、B重合），求证：APB90。证明：联结OP，设向量，则且，即APB90。点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。题型7：平面向量在物理中的应用例13如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力.解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。课后训练：（2020北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.2、江苏省阜中2020届高三第三次调研考试试题已知O为坐标原点, 集合,且 .46