第七部分：计数原理、概率、随机变量及其分步、统计、统计案例（5）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1在直角坐标系xOy平面上，平行直线xm(m0,1,2,3,4)，与平行直线yn(n0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有()A25个 B100个C36个 D200个【解析】两条水平线与两条竖直线可组成一个矩形，所以矩形的个数也就是从5条水平线中取两条水平线，从五条竖直线中取两条竖直线的方法，所以共有C52C52100个【答案】B2将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()A252种 B112种C70种 D56种【解析】分两类：甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，所以共有C73A22C72A22352212112种【答案】B3(2020年天津联考)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有()A1 344种 B1 248种C1 056种 D960种【解析】当中间行为14时，共有排法A64A4222312种，其中A42表示2314故A4222表示2,3在第一行或第三行的所有排法当中间行为41时，也有312种所以中间行放标有1,4的卡片时，共有3122624种所以中间行放标有2,3的卡片时，也有624种，所以共有排法62421 248种【答案】B4(2020年沧州一模)12名同学合影，站成了前排4人后排8人现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()AC82A32 BC82A66CC82A62 DC82A52【解析】解决本题可分两个步骤：第一步：从后排8人中抽取2人，有C82种方法；第二步：前排6人的排列因为原来前排的4人顺序不变，所以有A62种方法(或者第二步是从前排的6个位置中选2个位置让抽出来的2人排好，剩余的4人按原顺序排好，有A62种方法)根据分步乘法计数原理得共有C82A62种方法【答案】C5甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有()A20种 B30种C40种 D60种【解析】甲排周一时，有A4212种排法甲排周二时，有A326种排法甲排周三时，有A222种排法故共有126220种不同的排法【答案】A二、填空题6(2020年珠海模拟)从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有_种【解析】本题可分三步完成第一步：先从5人中选出2名翻译，共C52种选法，第二步：从剩余3人中选1名交通义工，共C31种选法，第三步：从剩余2人中选1名礼仪义工，共C21种选法，所以不同的选派方法共有C52C31C2160种【答案】607如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种【解析】本题考查分类和分步计数原理的应用，可采用排除法，各个焊点的情况各有2种情况，故四个焊点共有24种可能，其中能使线路通的情况是：1,4都通 ,2和3中至少有一个通时线路才通，共有3种可能，故不通的共有24313种可能【答案】138某班要从A，B，C，D，E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A，B，C三人都不连任原职务的方法有_种【解析】分三类A，B，C三人入选，则只有2种方法若A，B，C三人只有两人入选，则一共有C32C21318种若A，B，C三人中只有一人入选，则一共有C31C22412种所以一共有2181232种方法【答案】32三、解答题9有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取1只测试，直到4只次品全测出为止，求最后1只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？【解析】方法一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，有C61C41种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有A44种排法故不同的情形共有C61C41A44576种方法二：设想有五个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有C41种方法再从6只正品中任选1只和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有C61A44种方法故不同的情形共有C41C61A44576种10(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？【解析】(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A4324种(2)总的排法数为A55120种，甲在乙的右边的排法数为A5560种(3)方法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C72242种；若分配到3所学校有C7335种共有7423584种方法方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C9684种不同的方法所以名额分配的方法共有84种