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解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0t1),以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于BT,交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线的方程; (2)计算出点P、Q的坐标; (3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 显然, 于是 直线的方程为; (2)由方程组解出 、; (3), . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后,得关于的一元二次方程 于是其判别式由已知,得=0即 在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得 令顶点P的坐标为(x,y), 由已知,得 代入式并整理,得 , 即为所求顶点P的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值. 讲解:(1)原点到直线AB:的距离. 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y,整理得 . 设的中点是,则 即故所求k=.为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且F1PF2的最大值为90,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,ABF2的面积最大值为12 (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程 讲解:(1)设, 对 由余弦定理, 得 ,解出 (2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当k存在时,设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入,消去得 ,整理为的一元二次方程,得 .则x1、x2是上述方程的两根且,也可这样求解: ,AB边上的高 ii) 当k不存在时,把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为: 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣:设过左焦点的直线方程为:(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)椭圆的方程为:由得:于是椭圆方程可化为:把代入并整理得:于是是上述方程的两根.,AB边上的高,从而 当且仅当m=0取等号,即 由题意知, 于是 . 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为: 例5 已知直线与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线上.()求此椭圆的离心率;(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上,求此椭圆的方程.讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理,得 线段AB的中点坐标为(). 由已知得 故椭圆的离心率为 . (2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 故所求的椭圆方程为 .例6 已知M:轴上的动点,QA,QB分别切M于A,B两点,(1)如果,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解:(1)由,可得由射影定理,得 在RtMOQ中, , 故, 所以直线AB方程是(2)连接MB,MQ,设由点M,P,Q在一直线上,得由射影定理得即 把(*)及(*)消去a,并注意到,可得适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图,在RtABC中,CBA=90,AB=2,AC=。DOAB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设, 试确定实数的取值范围讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y C =A O B动点P的轨迹是椭圆 . 曲线E的方程是 . (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程,得 设M1(, 则 i) L与y轴重合时, ii) L与y轴不重合时, 由得 又, 或 01 , . 而 , ,的取值范围是 . 值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕. 例8 直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A两点. (1)求证:; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: (1)易求得抛物线的焦点. 若lx轴,则l的方程为.若l不垂直于x轴,可设,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 .(2)设,则CD的垂直平分线的方程为假设过F,则整理得 ,. 这时的方程为y=0,从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点,因此与l不重合,l不是CD的垂直平分线.此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本!例9 某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B,沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,PB=150m,APB=60,试说明怎样运土石最省工?讲解: 以直线l为x轴,线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点,设这样的点为M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即 |MA|MB|=|BP|AP|=50,M在双曲线的右支上.故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处,曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运土石最省工.相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及,其实在课本中还可找到典型的范例,你知道吗?解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.
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