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备战2020数学应考能力大提升典型例题例1 已知一四棱锥的三视图如下,是侧棱上的动点。(1)求四棱锥的体积;(2)是否不论点在何位置,都有?证明你的结论;(3)若点为的中点,求二面角的大小解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC=2. -2分-4分(2) 不论点E在何位置,都有BDAE-5分证明如下:连结AC,ABCD是正方形BDAC PC底面ABCD 且平面BDPC-7分又BD平面PAC不论点E在何位置,都有AE平面PAC 不论点E在何位置,都有BDAE - -9分(3) 解法1:在平面DAE内过点D作DGAE于G,连结BGCD=CB,EC=EC, ED=EB, AD=AB EDAEBABGEA 为二面角DEAB的平面角-12分BCDE, ADBC ADDE在RADE中=BG在DGB中,由余弦定理得=-14分解法:以点C为坐标原点,CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示:则,从而-11分设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得:,令,则,-13分设二面角DAEB的平面角为,则例2 如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD/BC/FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD平面CDE;(III)求二面角A-CD-E的余弦值。 解:(1)如图所示,建立空间直角坐标系,点为坐标原点。设依题意得 (I) 所以异面直线与所成的角的大小为.(II)证明: , (III)又由题设,平面的一个法向量为 创新题型1如图,在棱长为1的正方体中,是侧棱上的一点,。()、试确定,使直线与平面所成角的正切值为;()、在线段上是否存在一个定点,使得对任意的,在平面上的射影垂直于,并证明你的结论。 参考答案1.【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法:()故。所以。又.故在,即.故当时,直线。()依题意,要在上找一点,使得.可推测的中点即为所求的点。因为,所以又,故。从而解法二:()建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为,则依题意有:,解得.
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