云南省2020届高三二轮复习专题（七）题目 高中数学复习专题讲座处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（2）高考要求 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 重难点归纳 (1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 (2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目 (3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力 (4)应用问题 在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决 特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题 典型题例示范讲解 例1已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力 知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想 错解分析 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 技巧与方法 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点 证明 (1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1) f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 f(x)在(1，1)上为减函数 例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1) 求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间 命题意图 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法 知识依托 逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题 错解分析 逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法 解 设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1) f(x)在(0，+)内单调递减 由f(2a2+a+1)3a22a+1 解之，得0a3 又a23a+1=(a)2 函数y=()的单调减区间是，+结合0a0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明 f(x)在(0，+)上是增函数 (1)解 依题意，对一切xR,有f(x)=f(x),即+aex 整理，得(a)(ex)=0 因此，有a=0,即a2=1,又a0,a=1 (2)证法一（定义法） 设0x1x2,则f(x1)f(x2)=由x10,x20,x2x1,0,1e0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函数 证法二（导数法） 由f(x)=ex+ex，得f(x)=exex=ex(e2x1) 当x(0,+)时，ex0,e2x10 此时f(x)0,所以f(x)在0，+)上是增函数 学生巩固练习 1 下列函数中的奇函数是( )A f(x)=(x1)B f(x)=C f(x)=D f(x)=2 函数f(x)=的图象( )A 关于x轴对称B 关于y轴对称C 关于原点对称D 关于直线x=1对称3 函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ 4 若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x11) (1)证明 函数f(x)在(1，+)上为增函数 (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根 6 求证函数f(x)=在区间(1，+)上是减函数 7 设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足 (i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1 求证 (1)f(x)是奇函数 (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a 8 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0 (1)求证 f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证 参考答案:1 解析 f(x)= =f(x)，故f(x)为奇函数 答案 C2 解析 f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称 答案 C3 解析 令t=|x+1|,则t在(,1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减 答案 (,14 解析 f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0 f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+单调递增，故a0 又知0x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0 答案 (,0）5 证明 (1）设1x1x2+,则x2x10, 1且0,0,又x1+10,x2+100,于是f(x2)f(x1)=+ 0f(x)在(1，+）上为递增函数 (2）证法一 设存在x00(x01)满足f(x0)=0,则且由01得01,即x02与x00矛盾，故f(x)=0没有负数根 证法二 设存在x00(x01)使f(x0)=0,若1x00,则2,1,f(x0)1与f(x0)=0矛盾，若x01,则0, 0，f(x0)0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根 6 证明 x0,f(x)=,设1x1x2+,则 f(x1)f(x2),故函数f(x)在(1，+）上是减函数 (本题也可用求导方法解决）7 证明 (1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x) f(x)是奇函数 (2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a) f(x+a)=fx-(-a)= f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数 8 (1）证明 设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数 (2)解 f(x)=2x+1 验证过程略 课前后备注