六安一中2020届高三年级第二次月考数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意，所以故选B考点：集合的运算对数函数与指数函数的性质2. “若，则，都有成立”的逆否命题是（ ）A. ，有成立，则 B. ，有成立，则 C. ，有成立，则 D. ，有成立，则【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若，则，都有成立”的逆否命题是 “有成立，则”.本题选择D选项.3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选A考点：函数的定义域4. 设函数，则（ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C【解析】试题分析：由题意得,因为根据对数函数的单调性知:, ,故选C.考点：1、分段函数的解析式；2、对数与指数的性质.5. 已知：幂函数在上单调递增；则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，命题幂函数 在上单调递增，则 ，又，故是的充分不必要条件，选A.6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D.7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（ ）A. 2021年 B. 2020年 C. 2020年 D. 2020年【答案】C【解析】设第年开始超过万元，则，化为，取，因此开始超过万元的年份是年，故选C.8. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出函数的图象，如图：由关于的方程有三个不同的实数解，可知函数与函数有三个不同的交点，由图象易知，实数的取值范围是，故选D.9. 已知，现有下列命题：；若，且，则有，其中的所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,即正确； ，故正确；又因为在上递增，所以总有成立，故正确，故选D.10. 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（ ）A. 0 B. 6 C. 12 D. 24【答案】B【解析】函数满足，即为，可得关于点对称，函数，即的图象关于点对称，即有为交点，即有也为交点，为交点，即有也为交点， 为交点，即有也为交点， 则有 ，故选B.11. 若直角坐标平面内两点满足条件：都在函数的图象上；关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看做同一个“伙伴点组”）.已知函数，有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 根据题意可知，“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称，可作出函数，关于原点对称的函数的图象，使它与函数交点个数为即可，设切点为的导函数为，可得，解得，可得函数，过点的切线斜率为，结合图象可知时有两个交点，故选D.【方法点睛】本题考查导数的几何意义、函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“伙伴点组”达到考查导数的几何意义、函数的图象与性质的目的.12. 已知函数，若成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设，故，令，易知在上是增函数，且，当时，当时，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选D.【方法点睛】本题主要考查对数、指数的运算，利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可. 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 计算：_【答案】26【解析】因为，故答案为.14. 已知函数在单调递减，则的取值范围是_【答案】【解析】根据题意,若f(x)在区间2,+)上为增函数，则在2,+)上是减函数，u=x2ax+3a在2,+)上为增函数,且在2,+)上恒大于0.得到：.解得：4a4，则实数a的取值范围为(4,4故答案为：(4,4.15. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为_【答案】10【解析】由，得，要判断函数的零点个数，则根据是定义在上的偶函数，只需判断当时，的个数即可，当时，当时，时，；当时，时，；当时，时，作出函数在上的图象，由图象可知有个根，则根据偶函数的对称性可知在定义域上共有个根，即函数的零点个数为个，故答案为.【方法点睛】判断方程 零点个数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知命题；命题：函数有两个零点，且一个零点比大，一个零点比小，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：令，则在上是增函数故当时，最小值为，故若为真，则.若为真命题，则，解得.若为真命题，为假命题，则，一真一假，（1）若真假，则实数满足即；（2）若假真，则实数满足即.综上所述，实数的取值范围为.18. 已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立.（1）求函数的解析式；（2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明.【答案】（1）（2）当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.解：（1）对任意实数恒有：，用替换式中的有：，得：，当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，在上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，在上为单调增函数.证明：设任意且，则，（1）当时，则，在上是减函数.（2）当时，则，在上是增函数.综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.【解析】试题分析：（1） ，用替换式中的有： ，由消去即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符合，即可证明结论.试题解析：（1）对任意实数恒有：，用替换式中的有：，得：，（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，在上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，在上为单调增函数.证明：设任意且，则，当时，则，在上是减函数.当时，则，在上是增函数.综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.19. 已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由，得，解得；（2）由在上单调递减.可得函数在区间上的最大值与最小值分别为，等价于，对任意成立，只需令函数在区间的最小值不小于零，解不等式即可.试题解析：（1）由，得，解得.（2）当时，所以在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为.即，对任意成立.因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得，故的取值范围为.【方法点晴】本题主要考查函数的单调性、简单的指数方程以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题（2）是利用方法 求得的取值范围的.20. 设函数.（1）解方程：；（2）令，求的值.（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2（2）1008（3）试题解析：（1）.（2）.因为所以（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，,又因为在实数集上单调递增，所以,即对任意的都成立，即对任意的都成立，.21. 已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若函数的图像与直线没有交点，求的取值范围；（3）若函数，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在得最小值为0.解：（1），即对于任意恒成立.（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.任取，且，则，在上是单调减函数.，的取值范围是（3）由题意，令， 开口向上，对称轴，当，即，当，即，（舍去）当，即，（舍去）存在得最小值为0.【解析】试题分析：（1）若函数是偶函数，则恒成立，化简可得 ，从而可求得的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，方程无解，则函数的图象与直线无交点，则不属于函数值域，从而可得结果；（3）函数，令，则，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得的值.试题解析：（1），即对