浙江省宁波市余姚中学2020年高考模拟试卷数 学一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.双曲线的一个顶点坐标是（ ）A.B.C.D.3.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值是（ ）A.B. C.D.或4.若、满足约束条件，则的最大值是（ ）A.-5B.1C.2D.45.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A.B.C.D.6.函数（，）的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于直线对称，则函数的解析式为（ ）A.B.C.D.7.在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若正实数，满足，则取最小值时，（ ）A.5B.3C.2D.19.在正四面体中，分别是棱，的中点，分别是直线，上的动点，是的中点，则能使点的轨迹是圆的条件是（ ）A.B.C.D.10.等差数列（），满足，则（ ）A.的最大值是50B.的最小值是50C.的最大值是51D.的最小值是51二、填空题（本大题共7小题）11.已知a，复数且（为虚数单位），则_，_.12.已知随机变量的分布列如表，若当时，则_，_.012Pab13.若，则_，_.14.已知，分别为椭圆C：（）的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，则长轴长为_；若P是椭圆上的一点，且，则_.15.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则使是偶数的排列有_种.（用数字作答）16.设平面向量，满足，则的取值范围是_.17.已知，若对任意的，存在，使得成立，则实数k的最大值是_.三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数.（）求的最小正周期；（）若，且，求的值.19.如图，为正三角形，且，将沿翻折.（）若点的射影在上，求的长；（）若点的射影在中，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长.20.设各项为正项的数列，其前项和为，.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.21.已知抛物线：（）的焦点为，过点的动直线与抛物线交于A，B两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为4.（）求抛物线的方程；（）记、的面积分别为，求的最小值.22.已知实数，设函数.（）求函数的单调区间；（）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围.注：为自然对数的底数.浙江省余姚中学2020年模拟测试数学试卷参考答案1.【答案】C【解析】解：，则，故选：C.求出集合A的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可.本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件结合交集的定义是解决本题的关键.比较基础.2.【答案】D【解析】解：双曲线的标准方程为，则双曲线的顶点在y轴上，且，即双曲线的顶点坐标为或，故选：D.求出双曲线的标准方程，结合顶点的定义进行求解即可.本题主要考查双曲线方程的应用，结合双曲线的标准方程是解决本题的关键.3.【答案】A【解析】解：设的公比为，（）由，得，解得.则.故选：A.由，成等差数列可得、的关系，结合等比数列的通项公式即可求出，而由等比数列的性质可得则，故本题得解.此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题.4.【答案】D【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大；由，解得，即，代入目标函数得.即目标函数的最大值为4.故选：D.画出约束条件表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最大值.本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解题的关键.5.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键.判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.【解答】解：由题意可知几何体是组合体，上部是四棱锥，底面是矩形，边长为3，4，高为，一个侧面与底面垂直，下部是一个半圆柱，底面半径为2，高为3，所以组合体的体积为：.故选：A.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的图象与性质，属于基础题.由函数周期得，再由平移后的函数图象关于直线对称，结合的范围，可得的值，则答案可得.【解答】解：函数（，）的最小正周期是，解得，将该函数的图象向右平移个单位后，得到图象的函数解析式为：.此函数图象关于直线对称，得：，即，又，得，函数的解析式为.故选D.7.【答案】D【解析】解：中，若，、都大于零，故B和C都是锐角，根据，可得，故A为锐角，故的形状为锐角三角形，若为钝角三角形，B或C为钝角，则，若A为钝角，则，故在中，“”是“为钝角三角形”的既不充分也不必要条件故选：D.根据两角和的正切公式，诱导公式，结合充要条件的定义，判断可得答案.本题以充要条件为载体，考查三角形形状的判断，难度中档.8.【答案】B【解析】解：；，且，；，当且仅当，即时取等号.故选：B.根据及，都为正数即可得出，从而得出，根据基本不等式即可得出，并且当时取等号，即得出取最小值时，.考查对数的运算性质，基本不等式及其应用9.【答案】D【解析】解：如图所示，正四面体中，取、的中点G、H、K、L，因为P、Q分别是棱，的中点，所以的中点O也为定点；由对称性知，和的中点都在中截面上；由，所以；又在正四面体中，对棱垂直，所以；所以，即；若点M的轨迹是以O为圆心的圆，则为定值.故选：D.先由对称性找到、的中点在中截面上运动，利用向量的加减运算，得到，结合正四面体的特征将等式两边平方，得到，由圆的定义得出结论.本题考查了正四面体的结构特征与应用问题，也考查了空间向量的计算问题，是难题.10.【答案】A【解析】解：不妨设，由对称性可得：，.则，.，.，解得：，.的最大值为50.故选：A.不妨设，由对称性可得：，.可得则，.解得.可得，可得，解出即可得出.本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.11.【答案】-6【解析】解：由且，得，即，即，.，.故答案为：-6；.把代入，变形后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题.12.【答案】【解析】解：根据的分布列得：，由联立得，.故答案为：；.利用概率的性质和期望构建关于a、b的方程组，求出a、b值，然后利用方差公式求解即可本题考查了概率的性质、分布列及期望，解决本题要注意利用概率和为1这一条件，还要会利用.13.【答案】113【解析】解：设，所以，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案为：1，13.设，对两个函数分别求导再结合所求利用赋值法即可求解结论.本题考查了导函数的应用、二项式定理的性质，属中档题.14.【答案】，【解析】求出点关于直线的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得，代入三角形面积公式得答案.解：由椭圆C：（），知.，点关于直线的对称点，由题意可得：，即，则长轴长为；椭圆方程为.则，又，.则.故答案为；.求出点圆关于直线香 的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin_圆1圆，代入三角形面积公式得答案本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题15.【答案】648【解析】解：1，2，3，4，5，6 随机排成一列，共有种，为偶数等价于“a，b，c不全为奇数，且d，e，f不全为奇数”共有，故答案为：648利用间接法，先求出1，2，3，4，5，6随机排成一列，再排除再求a，b，c全为奇数，且d，e，f全为奇数的情况即可.本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16.【答案】.【解析】设，当时，即且，当时，综上所述，的取值范围是.故答案为：.根据，即可求出的范围，进而得出的取值范围.考查向量数量积的运算和向量模长的计算.17.【答案】【解析】解：设，当时，由可看作函数与函数的纵向距离，当切点与端点到直线纵向距离相等时，取得最大值的最小值，由，得，则切线方程为，过端点的平行线为，当纵向距离时，即时，纵向距离有最大值的最小值，此时纵向距离，即.故答案为：.可看作函数与函数的纵向距离，数形结合即可得解.本题考查导数及其运用，着重考查数形结合思想的运用，属于中档题.18.【答案】解：（）.即.所以的最小正周期.（）由，得，又因为，所以，即.所以.【解析】（）利用二倍角和辅助角公式化简即可求的最小正周期；（）根据，利用和与差的公式即可求解的值.本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.19.【答案】解：（1）过A作交于E，则平面.取中点O，连接，平面，平面，又是正三角形，又，AE，平面，平面，.又，O为的中点，为的中点.，.；（2）以O为原点，以为x轴，以为y轴，以平面的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角为，则，.，设平面的法向量为，则，令，得.，解得.，又，.【解析】（1）过A作交于E，则平面，证明平面得出为的中点，利用勾股定理计算；（2）以O为原点建立空间坐标系，设二面角为，用表示出A的坐标，求出和平面的法向量，令，得出，从而得出A点坐标，代入两点间的距离公式求出.本题考查了空间角及空间距离的计算，考查空间向量的应用，属于中档题.20.【答案】解：（）各项为正项的数列，其前项和为，,可得，解得，由时，可得，两式相减可得，可得，可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，可得正项的数列为2，5，8，11，14，17，即有正项的数列的通项公式为；（），当时，前项和；当时，前项和.综上可得前项和.【解析】（