江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期 高三数学4月质量检测 2014.4.12数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1.已知集合， .2.复数 .3.“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）4.从中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 5.为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 .6.执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为_.7.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 .8.在直角三角形中，若，则 9.已知，则 10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线xy30相切，则圆C的半径为 11.双曲线右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为 12.已知数列为等差数列，首项，公差，若成等比数列，且，则数列的通项公式 13.已知定义在R上的函数满足：，则方程在区间上的所有实根之和为 .14.若关于x的不等式（组）恒成立，则所有这样的解x构成的集合是_.二、解答题：（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.（本小题满分14分）已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）在中，若的值.16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC，BCAD，PAPD，Q为AD的中点。（1）求证：AD平面PBQ；（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA平面BMQ。17. (本小题满分14分） 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元（1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；（2）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低18（本小题满分16分）已知，数列有（常数），对任意的正整数并有满足。（1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。19（本小题满分16分）在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2.（1）求椭圆E的方程；（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且ACCB问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由20（本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期 高三数学4月质量检测 2014.4.12数学（附加题） 1.求使等式成立的矩阵M。2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足2，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.3集合中任取三个元素构成子集（1）求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；（2）记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为（如集合3，4，5中3和4相邻，2），求随机变量的分布列及其数学期望E（）。4、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形 AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长 高三数学4月质量检测（答案） 1. 2. 3.必要不充分 4. 5.48 6.7、 8、 9、 10、 11、 12.13.由题意知函数的周期为，则函数在区间0B-3-51CAyx上的图象如下图所示：由图形可知函数在区间上的交点为，易知点的横坐标为，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.14.答案，不等式等价于，即又（均值不等式不成立）令故，所以，（因为最小值大于，在中，可以取等号），故，解得或，所以答案为.15.解：（）因为， 所以函数的最小正周期为 6分（）由（）得， 由已知，又角为锐角，所以， 由正弦定理，得 12分16.证明：PAD中，PA=PD，Q为AD中点，PQAD，底面ABCD中，AD/BC，BC=AD,DQ/BC,DQ=BC BCDQ为平行四边形，由ADC=900，AQB=900，ADBQ 由ADPQ,ADBQ,BQPQ=Q,PQ、BQ面PBQAD平面PBQ 7分连接CQ,ACBQ=N,由AQ/BC,AQ=BC,ABCQ为平行四边形，N为AC中点，由DPAC中，M、N为PC、AC中点， MN/PA由MN面BMQ，PA面BMQ 面BMQPA 14分1717（1）设摩天轮上总共有个座位，则，即，2分， 4分定义域 6分（2）当时，令，8分，则，10分， 12分当时，即在上单调减，当时，即在上单调增，在时取到，此时座位个数为个14分18.解：（1）由已知，得， （2）由得则，即，于是有，并且有，即，而是正整数，则对任意都有，数列是等差数列，其通项公式是。 （3）；由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。19（本小题满分16分）在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2.（1）求椭圆E的方程；（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且ACCB问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由19.20（本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.20.解：（I）当时，当，当 ，所以函数在和单调递增，在单调递减，所以当时，函数取到极大值为，当时，函数取到极小值为-2. （6分）（II）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，得设且 （10分）当时，在上单调递减，所以当时，；当时，在上单调递减，所以当时，；所以在不存在 “转点”. （13分）当时，即在上是增函数.当时，当时，即点为“转点”.故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. （16分）附加题答案16