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八市学评2020(下)高三第一次测评理科数学第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足,其中为虚数单位,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由题意得,所以,则,故选D2. 集合,若只有一个元素,则实数的值为( )A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B【解析】因为只有一个元素,而, 所以 或 ,选B.3. 已知满足约束条件,则的最小值是( )A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】 画出约束条件所表示的平面区域,如图所示, 设,则,表示可行域内点与原点的连线的斜率, 由图象可知,当取点时,取得最大值, 由,解得,此时的最大值为,所以的最小值为,故选C4. 某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计,发现该班学生的分数都在90到140分之间,其频率分布直方图如图所示,若130140分数段的人数为2,则100120分数段的人数为( )A. 12 B. 28 C. 32 D. 40【答案】B【解析】100120分数段对应纵坐标为 ,根据对应关系得,选B. 5. 已知,则( )A. B. C. D. 6【答案】A【解析】 由题意可知, 则, 所以,故选A6. 某几何体的三视图如图所示,则改几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由给定的三视图可知,原几何体上半部分,表示一个半径为的四分一个球, 下半部分表示一个底面半径为,高为的半个圆锥, 所以该几何体的体积为,故选C7. 已知函数,若,则( )A. B. C. 或 D. 0【答案】D【解析】 由函数的解析式可知,当时,令,解得;当时,令,解得(舍去),综上若,则,故选D8. 设等差数列的首项大于0,公差为,则“”是“为递减数列”的( )A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 由题意,当时,所以,即数列为递减数列;若数列为递减数列,则,因为,所以,所以是数列为递减数列的充要条件,故选A9. 双曲线的右焦点为,过点斜率为的直线为,设直线 与双曲线的渐近线的交点为为坐标原点,若的面积为,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】 过点且斜率为的直线方程为,与双曲线的渐近线联立, 得到, 因为的面积为,所以,所以, 所以双曲线的离心率为,故选D10. 设函数与且)在区间具有不同的单调性,则与的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由题意,因为与在区间具有不同的单调性, 则,所以,所以,故选D11. 记实数种的最小数为,若函数的最小正周期为1,则的值为( )A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】 由题意,如图所示,函数和的图象关于对称, 则函数的周期为的周期的一半, 若的最小正周期为,则的周期为, 即,解得,故选C 点睛:本题考查了三角函数的图象与性质,以及三角函数的周期求解问题,解答中根据函数和的图象之间的关系,得到函数与和的关系即可求解,其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力12. 已知函数,若函数有4个不同的零点,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 当时, 当时,作图可知, 选C.点睛:涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为-8,则输出的值为_【答案】4【解析】 执行如图所示的程序酷图,可得, 满足条件,;满足条件,;不满足条件,输出14. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为_【答案】1【解析】 由题意直线与与曲线所成围成的封闭图形,如图所示,又由,解得或,所以封闭图形的面积为15. 的展开式中,的系数是_(用数字填写答案)【答案】-280【解析】 由题意,二项式的展开式为,当时,即的系数是点睛:本题主要考查二项式定理的通项与系数问题,试题比较基础,属于简单题 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式;(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项式定理的应用16. 已知抛物线与圆,直线与交于两点,与交于两点,且位于轴的上方,则_【答案】1【解析】圆,直线 过抛物线焦点 所以 ,由得,即.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在中,边的对角分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)由正弦定理,画出,即可化简得到,再借助,即可得到角的大小;(2)由(1)和余弦定理和基本不等式,即可得到,即可求解三角形面积的最大值试题解析:(1)由及正弦定理.所以,即.所以或(舍)所以,又,所以.(2)由及余弦定理得,得,所以,当且仅当等号成立.所以面积的最大值为.18. 已知在四棱锥中,为正三角形,底面为平行四边形,平面平面,点是侧棱的中点,平面与棱交于点.(1)求证:;(2)若,求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)由底面是平行四边形,利用线面平行的判定定理得面,在利用线面平行的性质定理,即可证得 (2)建立空间直角坐标系,求得平面和平面的一个法向量,利用空间向量的夹角公式,即可求解平面和平面的二面角的余弦值试题解析:(1)底面是平行四边形,又面面,面,又四点共面,且平面平面,.(2)取中点,连接侧面为正三角形,故,又平面平面,且平面平面,平面, 在平行四边形中,故为菱形, 且是中点,.如图,建立空间直角坐标系,因为,则,又,点是棱中点,点是棱中点,,,设平面的法向量为,则有, 不妨令,则平面的一个法向量为平面是平面的一个法向量,,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19. 某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会,拟请20名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加,各班邀请的学生数如下表所示;班级高三(1)高三(2)高三(3)高三(4)人数4646(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一班级的概率;(2)从这20名学生中随机选出3 名学生发言,设来自高三(3)的学生数为,求随机变量的概率分布列和数学期望.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)从名学生随机选出名的方法数为, 选出人中任意两个均不属于同一班级的方法数,利用古典概型及其概率公式,即可求解(2)由可能的取值为,求得随机变量每个值对应的概率,列出分布列,利用公式求解数学期望试题解析:(1)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为, 选出 3 人中任意两个均不属于同一班级的方法数为设 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的事件为所以(2)可能的取值为 0,1,2,3,.所以的分布列为0123所以20. 已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若不过原点的直线与椭圆相交于两点,与直线相较于点,且是线段的中点,求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)由椭圆的方程的离心率和椭圆上的点代入方程,列出方程组,求得的值,得到椭圆的方程;(2)当直线的斜率不存在时,的中点不在直线上,故直线的斜率存在.设直线的方程为与椭圆的方程联立,求得,进而得到点的坐标,因为在直线上,解得,以及利用,求得实数,把三角形的面积表达成实数的表示,即可求解面积的最大值试题解析:(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为.(2)易得直线的方程为.当直线的斜率不存在时,的中点不在直线上,故直线的斜率存在.设直线的方程为,与联立消得,所以.设,则,.由,所以的中点, 因为在直线上,所以,解得所以,得,且,又原点到直线的距离,所以,当且仅当时等号成立,符合,且.所以面积的最大值为:.点睛:本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目,通常利用的关系,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,应用确定函数的性质求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21. 已知函数.(1)若函数有一个极小值点和一个极大值点,求的取值范围;(2)设,若存在,使得当时,的值域是,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,由函数有两个极值点,得到关于的不等式组,求得实数,再作出验算即可(2)求出的导数,通过讨论的范围确定函数的单调区间,得到关于的不等式,解出即可试题解析:(1),则令,若函数 有两个极值点,则方程必有两个不等的正根,于是 解得当时,有两个不相等的正实根,设为,不妨设,则. 当时,在 上为减函数;当时,在上为增函数;当时,函数在上为减函数.由此,是函数的极小值点,是函数的极大值点.符合题意.综上,所求实数的取值范围是(2)当时,.当时,在上为减函数;当时,在上为增函数.所以,当时,的值域是.不符合题意.当时,.(i)当,即时,, 当且仅当时取等号.所以在上为减函数从而在 上为减函数符合题意(ii)当,即时,当变化时, 的变化情况如下表:1-0+0-减函数极小值0增函数极大值减函数若满足题意,只需满足,且(若,不符合题意),即,且.又,所以,此时所以实数的取值范围是点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用
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