厦门外国语学校2020学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合， ，则（ ）A. B. C. D. 2设时虚数单位，若复数，则（ ）A. B. C. D. 3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD(第3题图) (第4题图)5下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）A. B. C. D. 6直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为 （ ）A1B-1CD7设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为 ，则（ ）A. B. C. D. 与1大小不确定8已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B.C. D. 9已知，则（ ）A. B. C. D. -10.已知函数，且，则等于（ ）A.2020B2020C2020D202011关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）A. B. C. D. 12若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）A.B. C.D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，且，则_14已知实数， 满足约束条件则的最大值为_15学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 _16已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形面积的最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知， 为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18（本小题满分12分）如图（1），五边形中，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面（1）求证：平面.（2）若直线与所成角的正切值为，设，求四棱锥的体积.19. （本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：人数次数年龄0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,6018岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2020年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人用样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（2）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点.（1）求抛物线的方程；（2）设点， 在抛物线上，直线， 分别与轴交于点， ， .求证:直线的斜率为定值.21（本小题满分12分）设函数（为常数），为自然对数的底数.（1）当时，求实数的取值范围；（2）当时，求使得成立的最小正整数.22选修44：坐标系与参数方程（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）点是圆上任一点，求面积的最小值23选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分)已知函数，（1）解不等式：；（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.厦门外国语学校2017-2020学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题参考答案一.选择题1-12 DACCA CBACD BB二.填空题13.14615C16【选择填空解析】1D【解析】所以2A【解析】，.3C4C【解析】几何体是半个圆柱，底面是半径为1的半圆，高为2，故几何体的表面积是,5A【解析】函数的定义域和值域均为,函数的定义域和值域均为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为不满足要求；函数的定义域和值域均为满足要求，6C【解析】试题分析：由题意得，圆的圆心坐标，所以弦长，得.所以，解得7B【解析】在椭圆中，在双曲线中，8A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,补成一个正方体(棱长为1),正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为 , 表面积为9C【解析】=,10.D【解析】当为奇数时,当为偶数时，所以11B【解析】如图，点在以为邻边的正方形内部，正方形面积为1，能构成钝角三角形的三边，则，如图弓形内部，面积为，由题意，解得12.B【解析】设，由题设原不等式有唯一整数解，即在直线下方，递减，在递增，故，恒过定点，结合图象得：，即13.【解析】由题意可知：解得146【解析】解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点处取得最大值 .15C【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是16【解析】设，在中，由余弦定理可得， .在中，由余弦定理可得， ，即有，又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，由于，即有，当即时， ，解得.故的最大值为.三.解答题17. 解：（1）由， 为整数知，等差数列的公差为整数又，故2分于是，解得，4分因此，故数列的通项公式为6分（2），8分于是12分18. （1）证明：取的中点，连接，则，又，所以，2分则四边形为平行四边形，所以，3分又因为面所以平面 5分（2）又平面，平面，平面平面PCD；取的中点，连接，因为平面，.由即及为的中点，可得为等边三角形，又，平面平面，7分平面平面.所以9分所以.，为直线与所成的角，由（1）可得，由，可知，则.12分19解（1），4分 （2）根据题意，得出如下列联表骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计300150018008分根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关12分20解：（1）依题意，设抛物线的方程为由抛物线且经过点，得，所以抛物线的方程为4分（2）因为，所以，所以 ，所以 直线与的倾斜角互补，所以 6分依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，将其代入抛物线的方程，整理得设，则 ，所以8分以替换点坐标中的，得10分所以 所以直线的斜率为12分21.解：（1）由可知，当时，由，解得；2分当时，由，解得或；3分当时，由，解得或；4分（2）当时，要使恒成立，即恒成立，令，则，当时，函数在上单调递减；当时，函数的上单调递增6分又因为时，且，所以，存在唯一的，使得，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增所以，当时，取到最小值9分，因为，所以，11分从而使得恒成立的最小正整数的值为112分22解： （1）由消去参数t，得，所以圆C的普通方程为2分由，得，换成直角坐标系为，所以直线l的直角坐标方程为5分（2）化为直角坐标为在直线l上，并且，设P点的坐标为，则P点到直线l的距离为，8分，所经面积的最小值是10分23.解：试题解析：（）由得. 5分（）的值域为，对任意的，都有，使得成立，7分所以实数的取值范围是.10分