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第六章 不等式 6.1 不等式6.2 不等式的性质 二、主要内容1熟练掌握实数比较大小的依据:2能利用上述比较大小的依据,将比较大小的问题转化为研究二数(或式)的差的符号问题3能系统地掌握不等式的性质,熟悉性质定理的证明方法4通过定理的证明的学习和性质的运用,培养逻辑推理论证的能力三、学习指导1研究现实世界中的量之间的关系,主要有相等和不相等两种关系,相等是局部的,相对的,不等是普遍的,绝对的。因此,在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上,有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说,不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系,如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见,不等式在中学数学的重要地位,是进一步学习数学的基础知识。依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类,如按照不等式对其字母成立范围,分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式;按照含示知数项的特点,分为超越不等式、代数不等式,代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式,有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。对于条件不等式,主要研究不等式成立的条件,就是所谓“解不等式”,对于绝对值不等式,主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立,就是所谓的“证明不等式”,这两个内容是本章的重点,在后面会专门研究它们。不管是证明不等式还是解不等式,都要有一些工具,这个主要工具是不等式的性质,因此,掌握好不等式的性质是学好本章的关键。2不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质,还有一些推论:(1) 一个公理:a b a-b 0这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系,是两个实数大小比较的依据。根据这个公理,得到比较两个数(或式)大小的一种重要方法比较法。 (2)三个基本性质: abbb,bcac aba+cb+c在传递性中,称ab,bcac,从左向右是缩小;称ab,bcaba+cb+c,推论:ab,cda+cb+d;ab,cb-d ab,c0acbc;ab,c0acbd特例:ab0anbn nN,n1 (ii)特例:ab,ab0 ab0 n1,nN运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系,根据逆运算的性质,减、除可分别化归为加、乘。注重转化思想。对于乘方性质,可推广为:ab0,n为正有理数,则anbn。对于倒数性质,可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例函数y=在(-,0),(0,+)上的音调性理解。3掌握不等式的性质,主要注意不等式成立的前提条件(如R或R+)。不等号方向是否改变及不等号方向之间的关系、条件与结论是“”还是“”。不等式性质的表达形式是以单个字母a、b等出现的,实际上a、b既可以是数,也可以是式,应学会用整体思想解题。4若不等式中不等号是非严格不等号“”“”,则应注意等号成立的条件是否满足。在运用运算性质求量的取值范围时,若每一个不等式中都含有变量,则应减少运用运算性质的次数,否则最后结果可能不准确。可用列表类比的办法比较等式与不等式的性质。四、典型例题 【例1】 若ab0,cd0,e0,求证:。解题思路分析:比较不等式两边结构特点,应从a-c与b-d的大小比较着手。在利用“同向相加”的运算性质时,要对cdb0进行相加。 cd-d0 a-cb-d0 (同向相加) (a-c)2(b-d)2 (乘方性质) (倒数性质) e0 【例2】 已知,求+,-,的取值范围。解题思路分析:+的范围用不等式同向相加的性质,利用转化思想,-的范围也用不等式同向相加的性质,利用“正数同向相乘”的运算性质。 , , 【例3】 设f(x)=ax2+bx(a0),若1f(-1)2,2f(1)4,求f(2)取值范围。 解题思路分析:因f(-1),f(1)的范围已知,故考虑用f(-1)、f(1)表示f(2)。具体途径如下:途径一:因f(-1)、f(1)、f(2)都与a、b有关,参数a、b作为中间变量,起桥梁和过渡作用。先用f(1)、f(-1)表示a、b,再将a、b表达式代入f(2)即可。由得 f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1) 63f(1)12,1f(-1)2 7f(2)14途径二:因f(-1)=a-b、f(1)=a+b、f(2)=4a+2b、f(-1)、f(1)、f(2)都是关于a、b的一次表达式,故一定可以用f(-1)、f(1)的线性组合表示f(2)。在这个理论指导下,用待定系数法求解。设f(2)=f(1)+f(-1) ,、R 4a+2b=(+)a+(-)b由恒等式的知识: f(2)=3f(1)+f(-1)与途径一的结论完全相同。但少了求参数消参数的过程,途径二显得简洁。注:本题有一种典型的错误解法,就是考虑求出a、b的范围。 ff(2)=4a+2b15首先看结果,此正确方法得出的结果范围大。其次,从特殊情形着手检验一下:当4a+2b=6时,由推导过程知,a=,b=0,但显然不满足原始条件:a-b1,a+b2。那么原因何在呢?从运算角度看,是对含变量的不等式多次运用了运算性质,造成了式的范围扩大,如此处等号不能取到。从结果看,由f(-1)、f(1)的范围求出a、b范围,这两者不是充分必要的关系,是充分不必要的关系。所以前面“学习指导”中强调了在求含变量式子的取值范围时,尽量少用不等式的运算性质。 【例4】 已知0a,A=1-a2,B=1+a2,C=,D=,试比较A、B、C、D的大小。解题思路分析:根据a的条件及A、B、C、D表达式特征,首先寻找一个中间变量,以中间变量为标准进行分组,减少比差法的工作量。 0a 01-a1 C1,B1,0A1,0D0恒成立 1-a0,-a0 B-C0,BC A-D=1-a2- 0a0,AD CBAD注:因A、B、C、D均为正实数,C、D均为分式形式,也可采用“BCD1”的原理进行。有兴趣的同学可以自行研究。 【例5】 已知x、y、a、b均为正实数,x+y=1,比较与的大小。解题思路分析:直接用比差法不能进行变形化简,注意到:当x、y、a、b均为正实数时,及也都为正实数。可利用不等式性质:ab0a2b2,化无理问题为有理问题,从而便于变形,进一步地,可判断符号。0从而 当且仅当a=b时等号成立注:在比较两数(式)大小时,若存在相等情形,则应交代等号成立条件。巩固练习 (一)选择题 1若ab|b| Da2b22下列推导中,错误的是Ac-ab BC D3若ab,xy,则下列不等式中正确的是Aa-xb-y Baxy-a4若a、b是任意实数,ab,则下列不等式正确的是AA2b2 B Clg(a-b)0 D5若a、bR,则下列命题为真命题的是A若|a|b,则a2b2 B若aba2C若a|b|,则a2b2 D若ab,则6x2是1的A充分且必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D既非充分也非必要条件7a、bR,则成立的一个充分非必要条件是Aba0 Ba0 Dab8已知a、b、cR,那么下列命题为真命题的是Aabac2bc2 BC D9若a、bR,且ab,在a2+3ab2b2;a5+b5a3b2+a2b3;a2+b22(a-b-1);这四个式子中,恒成立的有A1个 B2个 C3个 D4个10a、bR,当两个不等式ab和同时成立时,a、b必须满足的条件是AAb0 Bab0-a D-a0-b (二)填空题11已知a+b0,bb0,cd0,ebc,比较a2b+b2c+c2a与ab2+bc2+ca2的大小。17已知A=,B=,试比较A与B的大小。18已知-3xy1,-4z0,因a、b不同号,故不能保证ab。3D。 ab-b-a,x+(-b)y+(-a),x-by-a4D。 利用指数函数单调性,函数y=在(-,+)上是减函数,ab时。5C。|b|0,a|b|0,a2|b|2,a2b26B。,或x0。
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