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专题11 直线与圆高考在考什么【考题回放】1已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( D )A2B1C0D2如果实数x、y满足条件 那么2x-y的最大值为( B ) A B C D3圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是(C)A36 B 18 C D 4若直线ykx2与圆(x2)2(y3)21有两个不同的交点,则k 的取值范围是 . k(0,)5若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切,则这个圆的方程为6. 制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50,可能的最大亏损率分别为30和10. 投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?【专家解答】设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.由题意知 目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.作直线,并作平行于直线的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线的距离最大,这里M点是直线和的交点.解方程组 得x=4,y=6 此时(万元). 当x=4,y=6时z取得最大值.答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能使可能的盈利最大.高考要考什么【考点透视】1理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3了解二元一次不等式表示平面区域。 4了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5了解解析几何的基本思想,了解坐标法。 6掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。【热点透析】直线与圆在高考中主要考查三类问题:一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程,基本概念重点考查:(1)与直线方程特征值(主要指斜率、截距)有关的问题;(2)直线的平行和垂直的条件;(3)与距离有关的问题等。此类题大都属于中、低档题,以选择题和填空题形式出现;二、直线与圆的位置关系综合性试题,此类题难度较大,一般以解答题形式出现;三、线性规划问题,在高考中极有可能涉及,但难度不会大突破重难点【范例1】已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆 x2y22x2y10的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.图1解法一:点P在直线3x+4y+8=0上. 如图1.设P(x, x),C点坐标为(1,1),S四边形PACB2SPAC|AP|AC|AP|AC|AP|AP|2|PC|2|AC|2|PC|21当|PC|最小时,|AP|最小,四边形PACB的面积最小|PC|2(1x)2(12x)2|PC|min3 四边形PACB面积的最小值为2解法二:由法一知需求|PC|最小值,即求C到直线3x+4y+8=0的距离,C(1,1),|PC|=3,SPACD=2.【点晴】求角、距离、面积等几何量问题的关键在于分析几何问题的特殊性,寻找快捷简便的方法。本题的关键在于S四边形PACB2SPAC,然而转化为|PC|的最值问题。【文】已知等腰的底边AB所在的直线方程为,顶点C的坐标是(2,2),顶角为1200,求两腰所在的直线方程及的面积.解:设腰所在直线的斜率为k,又,故一腰所在直线方程为另一腰垂直于x轴,方程为 .S=【范例2】过点M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交x、y的正半轴于A、B,若四边形OAMB的面积被直线AB平分,求直线AB方程。解:设AB的方程为(a0,b0)、。 a0 0b0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.解:设动点P的坐标为P(x,y),由=a(a0)得=a,化简得(1a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1a2)+(1a2)y2=0.当a1时,得x2+x+c2+y2=0. 整理得(xc) 2+y2=()2当a=1时,化简得x=0.所以当a1时,P点的轨迹是以(c,0)为圆心,|为半径的圆;当a=1时,P点的轨迹为y轴.【点睛】本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题的能力.【范例4】已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=1相切,点C在l上.()求动圆圆心的轨迹M的方程;()设过点P,且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点.(i)问:ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由;(ii)当ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.()法1 依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x.法2 设M(x,y),依题意有|MP|=|MN|,所以|x+1|=.化简得:y2=4x.()(i)由题意得,直线AB的方程为y=(x1).图712由消y得3x210x+3=0,解得x1=,x2=3.所以A点坐标为(),B点坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+2=.假设存在点C(1,y),使ABC为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即由得42+(y+2)2=()2+(y)2,解得y=. 但y=不符合,所以由,组成的方程组无解.因此,直线l上不存在点C,使得ABC是正三角形.(ii)法1:设C(1,y)使ABC成钝角三角形,由得y=2,即当点C(1,2)时,A、B、C三点共线,故y2.又|AC|2=(1)2+(y)2=+y2,|BC|2=(3+1)2+(y+2)2=28+4y+y2,|AB|2=()2=.当CAB为钝角时,cosA=|AC|2+|AB|2,即,即y时,CAB为钝角.当|AC|2|BC|2+|AB|2,即,即y|AC|2+|BC|2,即,即.该不等式无解,所以ACB不可能为钝角.因此,当ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是.法2:以AB为直径的圆的方程为(x)2+(y+)2=()2.圆心()到直线l:x=1的距离为,所以,以AB为直径的圆与直线l相切于点G(1,).当直线l上的C点与G重合时,ACB为直角,当C与G点不重合,且A、B、C三点不共线时,ACB为锐角,即ABC中,ACB不可能是钝角.因此,要使ABC为钝角三角形,只可能是CAB或CBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线方程为.令x=1得y=.过点B且与AB垂直的直线方程为y+2( x3).令x=1得y=.又由解得y=2,所以,当点C的坐标为(1,2)时,A、B、C三点共线,不构成三角形.因此,当ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是y(y2).【点晴】该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识,充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高,有较好的区分度.【文】设圆满足:截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;圆心到直线l:x-2y=0的距离为。求该圆的方程。解:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴距离分别为|b|,|a|由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900,知圆P截x轴所得的弦长为,故r2=2b2又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1从而得2b2-a2=1又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,所以即有a-2b=1,由此有解方程组得于是r2=2b2知所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2自我提升1将直线l沿x轴正方向平移两个单位,再沿y轴负方向平移3个单位,又回到了原来的位置,则l的斜率为( B ) A B C D2若,且分别是直线l1:ax+(b-a)y-a=0,l2:ax+4by+b=0的方向向量,则a,b的值分别可以是(A)A2,1B1,2C-1,2D-2,1ol1P价格需求/供给量图3l2需求/供给量价格ol1l2P图1ol1l2P价格需求/供给量图2
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