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探究类题共法导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在. 2020年全国新课标卷理科数学21题就是一道典型的以导数为背景,通过求最值分类讨论解决恒成立问题。学生在思考的过程中会产生两种常见的想法,但并不是每一种方法都能达到预期的效果,下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。原题:(2020年高考试题全国新课标卷理科数学21题)已知函数,曲线在点处的切线方程为(I)求的值;(II)如果当且时,求的取值范围解:(I)略(II)由()知考虑函数,则(i)设,由知,当时,而,故当时,可得;当时,从而当时,恒成立(ii)设由于当故而时,与题设矛盾(iii)设故当可得出矛盾综合可得的取值范围是评析:该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数,通过讨论该函数的单调性和零点,找出恒成立的范围,再举出反例将其它范围舍去。在解决该类问题时还有一个常见的办法,就是分离变量,下面我们试一试。解:分离变量得由于在时没有意义,故变形为,令则,易知当时取到最小值所以,所以所以恒成立,故的取值范围是评析:采用分离变量方法使计算过程变得简单明了,但仔细观察不难发现,这样的分离变量是有问题的,因为在时原函数是没有意义的,我们并不知道在时的极限,并且要证明函数的连续性,这些知识超出了高中的学习范围,是大学知识。事实证明,采用分离变量是存在问题的。对于这样的类型题有两个常见的方法可以选择,方法一:利用导数性质判断函数的单调性,研究函数的值域,分类讨论得出结果。方法二:大学知识辅助分离变量法。在高中阶段适合学生的是方法一,下面再举一例:案例1:(2020年高考试题全国新课标卷理科数学21题)设函数(I)若求的单调区间.()若时求的取值范围.解:(I)略()解:,若,则由(I)知所以,所以即若,由(I)知,则,即,当时,由于所以,所以当时不成立,故这道题的第二问是否也可以采取分离变量的方法呢?我们可以尝试一下:由已知得,令,由图像知时取到极小值,且,由罗必塔法则可求得极限为,再根据函数的连续性可知.在高中阶段我们并没有学习求极限的方法,所以这道题不可以分离变量。那么2020年的高考题也有这样的情况吗?令,由函数图像知时取得极小值,可对求极限,由罗必塔法则得,所以。还有其它的高考题具有同样的特点吗?案例2:(2020年高考试题全国卷理科数学22题)设函数(I)证明:的导数()若对所有都有求的取值范围。解:()略()令,则,()若,当时,故在上为增函数,所以,时,即()若,方程的正根为,此时,若,则,故在该区间为减函数所以,时,即,与题设相矛盾综上,满足条件的的取值范围是该题若进行分离变量即,令,由图像可知时取到极小值,但,由罗必塔法则可求得极限,所以,该题仍然可以用相同的方法解决。评析:以上三道高考题具有相同的特点,即第二问都可以通过讨论的方式,一部分范围是恒成立的,而另一部分范围则需要举出反例,舍去。在解决的过程中,通常还得用到恒等变形,适当放缩,所以难度都很大,在考场上想利用高中知识迅速准确的做对,都非常困难。在近五年高考中,全国卷共考了五次,不得不让我们对它给予高度的重视和研究。探究一下这类问题的本质,他们都不是连续函数,在无意义的点是不连续的,该点是函数的间断点,而且是函数的可去间断点,在间断点的两侧,该函数是单调函数,而且都是左减右增。利用大学知识,罗必塔法则可以求出该点的极限值,这三题的答案都是小于等于号,说明该极限值是一个极小值,这个极限值就是临界值。此类问题以大学数学中的函数连续为背景,存在着一个可去间断点,这个点就是讨论的重点。在高中阶段,无法求出极限值,极小值,只能通过分类讨论等办法,探求参数的取值范围。由上面的几道例题不难得出解决该类问题的统一方法,分两步走:一、通过分类讨论,探求使结论成立的参数范围,证明其恒成立。二、通过举出反例,将不符合要求的部分舍去。下面给出两个练习题,供大家思考:练习1:(2020年全国理数22题)设函数(I)证明:当()设当时,求得取值范围。答案:(I)略()练习2:(2020年高考全国文数21题)设函数(I)若,求的单调区间;()若当时求的取值范围;答案:(I)略()
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