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备课资料知识拓展利用体积法求简单多面体的内切球半径 求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面,把空间问题转化为多边形内切圆问题,如果简单多面体是不规则的,要作轴截面就很困难,因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法体积法,即把多面体进行分割,且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥,这些棱锥的高都是内切球的半径,然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积,从而求出半径.现举例说明如下:图8 如图8,在三棱锥SABC中,SA=AB=AC=1,BAC=90,SA面ABC,求三棱锥SABC的内切球的半径.解:设内切球的球心为O,球的半径为r,则VSABC=VOSAB+VOSAC+VOSBC+VOABC.又VOSAB、VOSAC、VOSBC、VOABC的高都是r,SA面ABC,VSABC=VOSAB+VOSAC+VOSBC+VOABC=(SSAB+SSAC+SSBC+SABC)=.r=.点评:若一个简单n面体有内切球,且简单n面体的各个面的面积分别为S1,S2,S3,Sn,简单n面体的体积为V,则此简单n面体的内切球的半径为r=.用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面,对空间想象能力要求高,但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法,体积法的缺点是计算量较大,而且要考虑多面体是否是规则的,因此在解题时要注意选择方法.
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