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二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函数的解析式是_。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c.二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点,且与x轴交于B(0,0)、C(3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的顶点A(2,-1)。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=y=x(x-3),即 y=.三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.再将点(1,2)代入求得a=-y=-即y=-由于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。四、平移型 例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式,将函数y=x-2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。y=x=xb=-6,c=6.因此选(B)五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2,其图象在X轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A(1,0),B(3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.六、识图型例 6 如图1, 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P,另一条与X轴交于M、N两点。(1)试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点?(2)求两条抛物线的解析式。解 (1)抛物线y=与x轴交于M,N两点(过程从略);(2)因y=的顶点坐标为(0,1),b-2=0,d=1, b=2.Y=.将点N的坐标与b=2分别代入y=+(b+2)x+c得c=6.y=+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x 的对称轴在 y轴的右侧,且抛物线与 y轴交于Q(0,-3),与x轴的交点为A、B,顶点为P,PAB的面积为8。求其解析式。解 将(0,-3)代入y=得 c=-3.由弦长公式,得点P的纵坐标为由面积公式,得解得因对称轴在y 轴的右侧, b=-2.所以解析式为y=八、几何型 例 8 已知二次函数y=-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其解析式。解 由弦比公式,得AB=顶点C的纵坐标为-ABC为等边三角形解得m=4故所求解析式为y=或y=九、三角型 例 9已知抛物线y=的图象经过三点(0,)、(sinA,0)、(sinB,0)且A、B为直角三角形的两个锐角,求其解析式。解 A+B=90,sinB=cosA.则由根与系数的关系,可得将(0,)代入解析式,得c=(1),得-bb=-所以解析式为y=十、综合型 例 10 如图2,已知抛物线y=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若ACB=90,且tgCAO-tgCBO=2,求其解析式解 设A,B两点的横坐标分别为x,则q=(-x由AOCCOB,可得OC=OAOB,q=q解得q=1,q=0(舍去),又由tgCAO-tgCBO=2得即x+x=-2xx 即 p=2p=2所以解析式为y=-x+2x+1 函数及其图象 例1.二次函数性质的应用例2.利用二次函数性质求点的坐标例3.求二次函数解析式例4.求二次函数解析式二、同步测试三、提示与答案-例6.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,对称轴是直线x=-1(1)确定a.b.c.b2-4ac的符号, (2)求证a-b+co ; (3)当x取何值时,y随x值的增大而减小。 解:(1)由抛物线开口向上,得出a0,由抛物线与y轴交点坐标为(O,C),而此点在x轴下方,得出c0,又由抛物线的对称轴是x=-1,在y轴左侧,得出b与a同号b0。抛物线与x轴有两个交点,即ax2+bc+c=0有两个不等的实根,b2-4ac0(2)当x=-1时,y=a-b+c0(3)当x-1时,y随x值的增大而减小。例7.已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P,使PAB的面积等于12个平方单位,求P点坐标。分析:由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3,根据抛物线的对称性,又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4,可知其与x轴交点为(1,0),(5,0)解:(1)当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3,-2).设二次函数解析式为y=a(x-3)2-2又图象在x轴上截得线段AB的长是4,图象与x轴交于(1,0)和(5,0)两点a(1-3)2-2=0 a=所求二次函数解析式为y=x2-3x+(2)PAB的面积为12个平方单位,AB=44Py=12 Py=6 Pg=6但抛物线开口向上,函数值最小为-2,Py=-6应舍去,Pg=6 又点P在抛物线上,6=x2-3x+x1=-1,x2=7即点P的坐标为(-1,6)或(7,6)说明:此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1,x2,运用公式x1-x2=,会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标,比较简便。例8.如图,矩形EFGH内接于ABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上,AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式,并回答当矩形的宽取多长时,它的面积最大,最大面积是多少?解:四边形EFGH是矩形 HGACABCHBG 设BD交HG于M 则BD与BM分别是ABC和HBG的高。 HGAC, MD=HE=x,BM=6-x , HG= y=S矩形EFGH=HE*HG y=x* 整理得y=-x2+8x BD=6 自变量x的取值范围是0x6 x2的系数为-0, y有最大值 当x=-=3时, y最大值=12 所求函数的解析式为y=-x2+8x(0x6),当它的宽为3cm时,矩形EFGH面积最大,最大面积为12cm2。 例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3,图象与y轴相交于点B,设x1,x2是方程ax2+bx-5=0的两个根,且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A, (1)求二次函数的解析式 (2)求原点O到直线AB的距离 解(1)如图 -=3 -=6 又x1+x2=-=6x1*x2=- 由已知,有x12+x22=26, (x1+x2)2-2x1x2=26 即(-)2+=26,=26-36 解得a=-1 解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4 (2)OB=5,OC=4,AC=3 AB=3 又OA=5 AOB为等腰三角形,作ODAB于D, BD= OD=, 即原点O到直线AB的距离为 三、同步测试: 选择题:1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点,那么P点坐标是( )(A).(-2,-1) (B)(-3,-1) (C)(-3,-2) (D)(-4,-2)2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上,则a与b的关系是()(A)a=b (B)a=-b (C)a=b (D)a=b3.点P(x,y)在第二象限,且x=2,y=3,则点P关于x轴对称点的坐标为( )(A)(-2,3) (B)(2,-3) (C)(-2,-3) (D)(2,3)4.函数y=中,自变量x的取值范围是( ) (A)x2 (B)x2 (C)x2 (D)x25.函数y=中,自变量x的取值范围是( )(A)x-2且x1 (B)x-2且x1(C)x-2且x1 (D)x-2或x16.在下列函数中,成正比例函数关系的是( )(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值,矩形的长与宽(C)正方形面积与它的边长(D)当底边一定时,三角形面积与底边上的高7.函数y=k(x-1)与y=(ko)在同一坐标系下的图象大致如图( )8.如果直线y=kx+b的图象过二、三、四象限,那么( )(A)k0,b0 (B) k0,b0 (C)k0,b0 (D)k0,b09.对于抛物线y=-+x-x2,下列结论正确的是( )(A)开口向上,顶点坐标是(,0)(B)开口向下,顶点坐标是(,0)(C)开口向下,顶点坐标是(-,)(D)开口向上,顶点坐标是(-,-)10.若a0,b0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的( )11.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则( )(A)a0,b0,c0,0 (B)a0,b0,c0,0(C)a0,b0,c0,0 (D)a0,b0,c0,0 12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,所得到的函数图象的解析式为( )(A)y=2x2+4x-8 (B)y=2x2-8x+8(C)y=2x2+4x-2 (D)y=2x2-8x-2填空题13.点A(,-5)到x轴的距离是_;到y轴的距离是_;到原点的距离是_.14.直线y=kx+b与直线y=-x平行,
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