双曲线数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离的差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola).两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus).两焦点的距离叫焦距，长度为2c. 双曲线的第二定义:x=a2/c (ca0)平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数.定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.注意：定点要在直线外；比值大于1双曲线的标准方程为(x2/a2)-(y2/b2)=1 其中a0,b0,c2=a2+b2,动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a 几何性质：1取值区域：xa,x-a或者ya,y-a2对称性：关于坐标轴和原点对称.3顶点：A(-a,0) A(a,0) AA叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b) B(0,b) BB叫做双曲线的虚轴，长2b.4渐近线：横轴：y=(b/a)x竖轴：y=(a/b)x5离心率：e=c/a 取值范围：（1，+)6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率7 双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意一点到焦点距离.过右焦点的半径r=|ex-a| 过左焦点的半径r=|ex+a| 8 等轴双曲线 双曲线的实轴与虚轴长相等2a=2b e=29 共轭双曲线 (x2/a2)-(y2/b2)=1 与 (y2/b2)-(x2/a2)=1 叫共轭双曲线 （1）共渐近线 （2）e1+e2=22 10 准线： x=a2/c,或者y=a2/c11.通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）：2b2/a12.焦点弦长公式：2pe/(1-e2cos2) p为焦点到准线距离，为弦与X轴夹角13.d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = (x1 - x2)² + (y1 - y2)² 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|(1 + 1/k²) 编辑本段双曲线的标准公式为：X2/a2 - Y2/b2 = 1(a0,b0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy = c的对称轴是 x=0, y=0 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的对称轴是 y=x, y=-x所以应该旋转45度设旋转的角度为 a （a0,顺时针） (a为双曲线渐进线的倾斜角)则有 X = xcosa + ysinaY = - xsina + ycosa取 a = /4则X2 - Y2 = (xcos(/4) + ysin(/4)2 -(xsin(/4) - ycos(/4)2= (2/2 x + 2/2 y)2 -(2/2 x - 2/2 y)2= 4 (2/2 x) (2/2 y)= 2xy.而xy=c所以X2/(2c) - Y2/(2c) = 1 (c0)Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c0)由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数2